Proszę o pomoc!!
W jaki sposób mogę udowodnić z definicji,że funkcja f nie jest rózniczkowalna w punkcie (0,0)
f(x,y)= { xy/sqrt^2(x^2+y^2) dla (x,y)nie=(0,0)
{ 0 dla (x,y)= (0,0)
?
bo mi coś nie wychodzi liczenie granic z definicji pochodnych kierunkowych i nie jestem pewna czy one istnieją, czy właśnie nie i dlatego funkcja nie jest różniczkowalna w (0,0).
rózniczkowalność w punkcie
-
m(nierejestrowany)
rózniczkowalność w punkcie
Funkcja jest różniczkowalna w punkcie (xo,yo) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość
Dx,Dy - przyrost(delta)
lim(Dx,Dy)->(0,0) ( f(xo+Dx,yo+Dy)-f(xo,yo)-f'x(xo,yo)Dx-f'y(xo,yo)Dy )/sqrt((Dx)^2 + (Dy)^2)=0
W tym przypadku mamy
f'x(0,0)=lim(Dx->0) (0-0)/Dx = 0
f'y(0,0)=lim(Dy->0) (0-0)/Dy = 0
lim(Dx,Dy)->(0,0) (Dx)(Dy)/( (Dx)^2 + (Dy)^2 ) 0.
Niech (Dx,Dy)=(1/n,1/n), gdzie n->inf . Wobec tego mamy
lim(n->inf) 1/(n^2)/( 1/(n^2) + 1/(n^2) ) = 1/2 0 Zatem funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie (0,0). [/img]
Dx,Dy - przyrost(delta)
lim(Dx,Dy)->(0,0) ( f(xo+Dx,yo+Dy)-f(xo,yo)-f'x(xo,yo)Dx-f'y(xo,yo)Dy )/sqrt((Dx)^2 + (Dy)^2)=0
W tym przypadku mamy
f'x(0,0)=lim(Dx->0) (0-0)/Dx = 0
f'y(0,0)=lim(Dy->0) (0-0)/Dy = 0
lim(Dx,Dy)->(0,0) (Dx)(Dy)/( (Dx)^2 + (Dy)^2 ) 0.
Niech (Dx,Dy)=(1/n,1/n), gdzie n->inf . Wobec tego mamy
lim(n->inf) 1/(n^2)/( 1/(n^2) + 1/(n^2) ) = 1/2 0 Zatem funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie (0,0). [/img]