Ekstrema funkcji

[BB8]

Mam obliczyć ekstrema danej funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=3xy^{2}+y^{3}-6xy}\)
mam \(\displaystyle{ f'_{x}=3y^{2}-6 \\ f'_{y}=6xy+3y^2}\)
wyszły mi miejsca zerowe ale jak mam określić czy jest ekstremum skoro \(\displaystyle{ f''_{xx}=0}\)?

[M Maciejewski]

Z moich szybkich wyliczeń wyszło mi, że w obu punktach macierz 2-giej pochodnej jest postaci \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}\), a więc jest to macierz nieokreślona. Nie ma więc ekstremów.
Aby to lepiej widzieć, zauważmy, że \(\displaystyle{ g(y)=f(0,y)=y^3}\) i ta funkcja nie ma ekstremum w zerze, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie ma ekstremum w \(\displaystyle{ (0,0)}\).

[BB8]

z moich obliczeń wyszły mi punkty podejrzane o ekstremum\(\displaystyle{ ( \frac{ \sqrt{2} }{2}, - \sqrt{2})}\) i \(\displaystyle{ ( \frac{- \sqrt{2} }{2}, \sqrt{2})}\)
A wiem że jeśli wychodzi macierz mam
\(\displaystyle{ \left| 0 |-6 \sqrt{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| -6 \sqrt{2} |-3 \sqrt{2} \right|}\)
a wtedy macierz nie jest ani dodatnio ani ujemnie określona czyli jest inny sposób na to tylko nie wiem jaki

[M Maciejewski]

Wg mnie źle wyznaczone są punkty krytyczne. Podana pochodna \(\displaystyle{ f_x}\) jest nieprawidłowa.

[a4karo]

Obie pochodne pierwszego rzędu są źle obliczone. Zrób to ćwiczenie jeszcze raz.

Łatwo widać, że przy ustalonym \(\displaystyle{ y}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest liniowa, więc potencjalne ekstremum może byc tylko tam, gdzie jej wartośc nie zależy of \(\displaystyle{ x}\), czyli tam, gdzie \(\displaystyle{ 3y^2-6y=0}\)