Pokazanie niemierzalności zbioru

[jagielloma]

Witajcie,

mam za zadanie udowodnić, że dany zbiór jest niemierzalny przy wykorzystaniu analogicznej metody jak przy wykazywaniu niemierzalności zbioru Vitalego. Doszedłem do pewnego momentu i niestety utknąłem.

Mam określoną relacje równoważności \(\displaystyle{ \equiv}\) w następujący sposób:

\(\displaystyle{ a\equiv b \Leftrightarrow \bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{n>n_0} a(n)=b(n)}\), czyli ciągi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) różnią się od siebie tylko na skończonej ilości miejsc i te ciągi są postaci:

\(\displaystyle{ a = (1,0,0,1,1,0,\ldots,1,0,0,1,\ldots)}\)
\(\displaystyle{ b = (0,0,1,1,0,1,\ldots,1,0,1,0,\ldots)}\)

\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem wszystkich takich ciągów. Zgodnie z tym co było w dowodzie Vitalego moja relacja jest zdefiniowana tak:
\(\displaystyle{ a\equiv b \Leftrightarrow a-b}\).

Dodawanie obydwu ciągów odbywa się jak dodawanie modulo2 wektorów. Zatem określamy:

\(\displaystyle{ a \oplus b=(1,0,0,0,1,0,\ldots,0,0,1,1,\ldots)}\).

Niech \(\displaystyle{ A_a}\) oraz \(\displaystyle{ A_b}\) będą klasami abstrakcji elementów \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\). Aksjomat wyboru pozwala wybrać taki zbiór \(\displaystyle{ Z}\), że dla każdego \(\displaystyle{ a\in X}\) mamy moc zbioru \(\displaystyle{ \overline{\overline{A_a\cap Z}}=1}\), czyli wybieram po jednym przedstawicielu z każdej klasy abstrakcji.

Aby pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest niemierzalny muszę wskazać dwa zbiory rozłączne takie że suma ich miar jest równa mierze zbioru\(\displaystyle{ Z}\). Robię to przez przesunięcie o jakieś \(\displaystyle{ q}\) tych ciągów. Mam jednak problem ze znalezieniem tych dwóch zbiorów. Mógłbym prosić o jakąś wskazówkę?

[Jan Kraszewski]

i te ciągi są postaci:

\(\displaystyle{ a = (1,0,0,1,1,0,\ldots,1,0,0,1,\ldots)}\)
\(\displaystyle{ b = (0,0,1,1,0,1,\ldots,1,0,1,0,\ldots)}\)

\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem wszystkich takich ciągów.

Ale jakich "takich"? Powinieneś porządnie zdefiniować zbiór na którym określasz relację. Czy masz na myśli \(\displaystyle{ X=\{0,1\}^\NN}\) ?

moja relacja jest zdefiniowana tak:
\(\displaystyle{ a\equiv b \Leftrightarrow a-b}\).

Ta definicja jest bez sensu.

JK

[a4karo]

Relację też należałoby zdefiniować (bo ten drugi zapis nic nie znaczy). I jeszcze powiedzieć o jaka miarę chodzi