Proszę o konkretną podpowiedź jak to zrobić.
W a i b należy podać czy to prawda czy fałsz, w c udzielić odpowiedzi.
Wiemy, że pewna funkcja \(\displaystyle{ f: R\to R^{2}}\) klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) ma w punkcie \(\displaystyle{ (-1, 2)}\) maksimum lokalne.
Wówczas:
a) \(\displaystyle{ f_{x}^{'}(-1, 2)\ge f_{y}^{'}(x, y)}\) dla każdego \(\displaystyle{ (x,y) \in R^2}\)
b) \(\displaystyle{ f_{x}^{'}(-1, 2)- f_{y}^{'}(x, y)=0}\)
c) funkcja przeciwna do funkcji f posiada w tym punkcie:
- maksimum lokalne
- minimum lokalne
- trudno określić)
Ekstrema lokalne
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Ekstrema lokalne
a) nie widać, czemu niby miałaby to być prawda. Najłatwiej podać kontrprzykład:
rozważmy \(\displaystyle{ f: \RR^2 \rightarrow \RR}\),\(\displaystyle{ f(x,y)=-(x+1)^{2}-(y-2)^{2}}\)
Oczywiście ma ona maksimum lokalne (a także globalne, ale to szczegół) w punkcie \(\displaystyle{ (-1,2)}\),
ale \(\displaystyle{ f'_x(-1,2)=0}\) z warunku koniecznego na ekstremum, zaś\(\displaystyle{ f'_y(x,y)=-2(y-2}\)), co np. dla \(\displaystyle{ (x,y)=(1,0)}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 4>f'_x(-1,2)}\)
b) działa ten sam kontrprzykład.
c) to, że w punkcie \(\displaystyle{ (-1,2)}\) nasza \(\displaystyle{ f}\) ma maksimum lokalne oznacza, że istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^{2}}\), dla którego prawdą jest \(\displaystyle{ (x,y) \in K((-1,2); \varepsilon)}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x,y)\le f(-1,2)}\). Mnożąc tę ostatnią równość stronami przez \(\displaystyle{ -1}\), równoważnie otrzymujemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) (można wziąć takie, jak wyżej), że \(\displaystyle{ -f(-1,2)\le -f(x,y)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^{2}}\) oddalonych mniej niż o \(\displaystyle{ \varepsilon \text { od } (-1,2)}\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ -f}\) ma w \(\displaystyle{ (-1,2)}\) minimum lokalne.
rozważmy \(\displaystyle{ f: \RR^2 \rightarrow \RR}\),\(\displaystyle{ f(x,y)=-(x+1)^{2}-(y-2)^{2}}\)
Oczywiście ma ona maksimum lokalne (a także globalne, ale to szczegół) w punkcie \(\displaystyle{ (-1,2)}\),
ale \(\displaystyle{ f'_x(-1,2)=0}\) z warunku koniecznego na ekstremum, zaś\(\displaystyle{ f'_y(x,y)=-2(y-2}\)), co np. dla \(\displaystyle{ (x,y)=(1,0)}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 4>f'_x(-1,2)}\)
b) działa ten sam kontrprzykład.
c) to, że w punkcie \(\displaystyle{ (-1,2)}\) nasza \(\displaystyle{ f}\) ma maksimum lokalne oznacza, że istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^{2}}\), dla którego prawdą jest \(\displaystyle{ (x,y) \in K((-1,2); \varepsilon)}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x,y)\le f(-1,2)}\). Mnożąc tę ostatnią równość stronami przez \(\displaystyle{ -1}\), równoważnie otrzymujemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) (można wziąć takie, jak wyżej), że \(\displaystyle{ -f(-1,2)\le -f(x,y)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^{2}}\) oddalonych mniej niż o \(\displaystyle{ \varepsilon \text { od } (-1,2)}\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ -f}\) ma w \(\displaystyle{ (-1,2)}\) minimum lokalne.