Określmy relację \(\displaystyle{ \equiv}\) następująco:
\(\displaystyle{ f\equiv g}\) jeśli ciągi \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) różnią się na skończonej liczbie miejsc.
Prosiłbym o podpowiedzi w jaki sposób pokazać, że jest to relacja równoważności.
Dowód relacji równoważności
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 14 gru 2011, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 37 razy
- PiotrowskiW
- Użytkownik
- Posty: 649
- Rejestracja: 14 lis 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wojkowice
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 67 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 14 gru 2011, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 37 razy
Dowód relacji równoważności
Zwrotność jest oczywista dla mnie, gdyż \(\displaystyle{ f\equiv f}\) to oba ciągi są równe, więc się zgadza.
Symetryczność też wydaje się oczywista, gdyż jeśli \(\displaystyle{ f\equiv g}\) to oba ciągi są równe sobie od pewnego elementu. Zatem \(\displaystyle{ g\equiv f}\) jest zrozumiałe.
Mam problem z ostatnim warunkiem. I nie mogę znaleźć tutaj żadnego pomysłu. Tak samo ze sposobem zapisania tego w sposób matematyczny.
Symetryczność też wydaje się oczywista, gdyż jeśli \(\displaystyle{ f\equiv g}\) to oba ciągi są równe sobie od pewnego elementu. Zatem \(\displaystyle{ g\equiv f}\) jest zrozumiałe.
Mam problem z ostatnim warunkiem. I nie mogę znaleźć tutaj żadnego pomysłu. Tak samo ze sposobem zapisania tego w sposób matematyczny.
-
- Użytkownik
- Posty: 2285
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Dowód relacji równoważności
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f\equiv g}\) oraz \(\displaystyle{ g\equiv h}\). Wówczas \(\displaystyle{ f(n)=g(n)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN\setminus A}\) dla pewnego skończonego zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ g(n)=h(n)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN\setminus B}\) dla pewnego skończonego zbioru \(\displaystyle{ B}\). Zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN\setminus (A\cup B)}\) mamy \(\displaystyle{ f(n)=g(n)=h(n)}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ A\cup B}\) jest zbiorem skończonym.