Objętość figury

[Sundaybadday]

Mam do policzenia objętość figury ograniczonej płaszczyzna:
\(\displaystyle{ D=\begin{cases} z=xy \\ z=0 \\ (x-1) ^{2}+(y-1) ^{2} =1 \end{cases}}\)
Co powiniem po kolei robić? Mam próbować to narysować czy przejść na współrzędne cylindryczne?

[a4karo]

Najprostsze będą przesunięte współrzędne biegunowe

[Sundaybadday]

Czy muszę te obszary narysować?

[a4karo]

To jest zawsze bardzo wskazane: zwłaszcza obszar nad którym ta bryła sie "Unosi", bo po nim będziesz całkować. Tu jest on prosty

[Sundaybadday]

Tylko nie wiem jak narysować obszar z=xy

[a4karo]

To jest akurat mało ważne.

Zauważ, że oba równania \(\displaystyle{ z=...}\) opisują funkcje dwóch zmiennych, więc są powierzchniami nad płaszczyzna \(\displaystyle{ oxy}\).

Jedna będzie górnym "dekielkiem" a druga dolnym. trzecie równanie mówi o obszarze całkowania. Gdzie on leży?

[Sundaybadday]

Według mnie to powinno wyglądać tak:
w obszarze OZ narysuje okrąg o promieniu 1 o środku w punkcie (1,1)
Wprowadzając wspł. biegunowe:
\(\displaystyle{ x=(r+1)\cos(\phi)\cos(\phi) \\
y=(r+1)\cos(\phi)\sin(\phi)\\
z=r\sin(\phi)}\)
Teraz powinienem określić przedziały całkowania i tu nie jestem jak je dobrać

[a4karo]

Nie tak:

\(\displaystyle{ x-1=r\cos\phi,\ y-1=r\sin\phi}\)

W ten sposób umiescisz biegun w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\). Teraz już wiesz jak dobrac zakres?

[Sundaybadday]

Właśnie mam z tym trochę problem. \(\displaystyle{ \phi \in (0,2\pi), r \in (0, 1), \phi \in (0,\frac{\pi}{2}) }\)?

[a4karo]

A jak staniesz w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\) to
1. jak daleko masz do okręgu?
2. O jaki kąt musisz się obrócić dookoła, żeby zobaczyć wszystkie punkty okręgu?
3. skąd Ci się wzięły dwa katy?

[Sundaybadday]

Dobrze od samego początku:
\(\displaystyle{ D=\begin{cases} z=xy \\ z=0 \\ (x-1) ^{2}+(y-1) ^{2} =1 \end{cases}}\)
Przechodzę na współrzędne biegunowe przesunięte:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=r\cos\phi \\ y-1=r\sin\phi \\ J=r
\end{cases}}\)
Podstawiam do równań podanych za obszar ograniczający i zmieniam jego nazwę na A:
\(\displaystyle{ A=\begin{cases} (r\cos\phi) ^{2}+(r\sin\phi) ^{2}=1 \\ z=(r\sin\phi+1) (r\cos\phi+1) \\ z=0 \end{cases}}\)
Czy zmienną z również powinienem zamienić na współrzędną biegunową?

[a4karo]

Odpowiedz sobie na pytanie :
Czy chcesz te objętość liczyć używając całki podwójnej czy potrojnej.

Jak potrojnej , to użyj współrzędnych walcowych (bo obiekt jest walcem krzywo odciętym od góry) wtedy funkcja calkowana to???

Jak podwójnej, to biegunowe, I całkujesz funkcje???

W obu przypadkach musisz określić granice całkowania.