Wielkie dzięki, wszystko ogarnięte, tylko skąd jest że \(\displaystyle{ T'(0) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n'(0) = \sqrt{2}.}\)?
Skąd ten pierwiastek z dwóch tam? Podstawiłem \(\displaystyle{ 0}\) i dostaje się \(\displaystyle{ T'(0) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n'(0) = n \sqrt[n+1]{n+1}}\), ale to chyba rozbieżna suma?
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
Dobrze jest rozpisać szereg potęgowy, żeby było lepiej widać:
\(\displaystyle{ T(y) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n(y) = 1 + \sqrt{2} y + \sqrt[3]{3} y^2 + \sqrt[4]{4} y^3 + \ldots \\[2ex]
T'(y) = \sum_{n=0} g_n'(y) = \sqrt{2} + 2 \sqrt[3]{3} y + 3 \sqrt[4]{4} y^2 + \ldots}\)
Dla \(\displaystyle{ y = 0}\) zerują się wszystkie wyrazy poza pierwszym \(\displaystyle{ =\sqrt{2}.}\)
\(\displaystyle{ T(y) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n(y) = 1 + \sqrt{2} y + \sqrt[3]{3} y^2 + \sqrt[4]{4} y^3 + \ldots \\[2ex]
T'(y) = \sum_{n=0} g_n'(y) = \sqrt{2} + 2 \sqrt[3]{3} y + 3 \sqrt[4]{4} y^2 + \ldots}\)
Dla \(\displaystyle{ y = 0}\) zerują się wszystkie wyrazy poza pierwszym \(\displaystyle{ =\sqrt{2}.}\)