Transformata Laplaca

[KubaJBSK]

Witam proszę o weryfikację obliczeń, korektę i pomoc. Ruszamy:

1.
\(\displaystyle{ y\left( t\right)'+y\left( t\right)=e^{2+2t} \wedge y\left( 0\right)=1}\)
\(\displaystyle{ sy\left( s\right)-y\left( 0\right)+y\left( s\right)=e^2*\frac{1}{s-2}}\)
\(\displaystyle{ sy\left( s\right)-1+y\left( s\right)=e^2*\frac{1}{s-2}}\)
\(\displaystyle{ sy\left( s\right)+y\left( s\right)=e^2*\frac{1}{s-2}+1}\)
\(\displaystyle{ y\left( s\right)*\left( s+1\right)=e^2*\frac{1}{s-2}+1}\)
\(\displaystyle{ y\left( s\right)=e^2*\frac{1}{{\left( s-2\right) }*{\left( s+1\right) }}+\frac{1}{s+1}}\)

\(\displaystyle{ y\left( t\right) =e^2*\frac{e^{-t}-e^{2t}}{-2-1}}\)

\(\displaystyle{ y\left( t\right) =e^2*\frac{e^{-t}-e^{2t}}{-3}}\)

dobrze?

-- 8 cze 2016, o 18:31 --

2.
\(\displaystyle{ y\left( t\right)'+2y\left( t\right)=e^{t-2} \wedge y\left( 0\right)=0}\)
\(\displaystyle{ sy\left( s\right)-y\left( 0\right)+2y\left( s\right)=e^{-2}*\frac{1}{s-1}}\)
\(\displaystyle{ y\left( s\right)*\left( s+2\right)=e^{-2}*\frac{1}{s-1}}\)
\(\displaystyle{ y\left( s\right)=e^{-2}*\frac{1}{\left( s-1\right)\left( s+2\right)}}\)

\(\displaystyle{ y\left( t\right)=e^{-2}*\frac{e^{-2t}-e^{t}}{-1-2}}\)

\(\displaystyle{ y\left( t\right)=e^{-2}*\frac{e^{-2t}-e^{t}}{-3}}\)

dobrze?

-- 8 cze 2016, o 18:59 --

3.
\(\displaystyle{ y''\left( t\right)+2y\left( t\right)=1+2t \wedge y'\left( 0\right)=3, y\left( 0\right)=0}\)
\(\displaystyle{ s^2y\left( s\right)-sy\left( 0\right)-y'\left( 0\right)+2y\left( s\right)=\frac{1}{s}+2*\frac{1}{s^2}}\)
\(\displaystyle{ s^2y\left( s\right)-3+2y\left( s\right)=\frac{1}{s}+\frac{2}{s^2}}\)
\(\displaystyle{ y\left( s\right)*\left(s^2+2 \right)= \frac{1}{s}+\frac{2}{s^2}+3}\)
\(\displaystyle{ y\left( s\right)=\frac{1}{s\left( s^2+2\right)}+\frac{2}{s^2\left( s^2+2\right)}+\frac{3}{s^2+2}}\)

\(\displaystyle{ y\left( t\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{s\left( s^2+2\right)} \right\}+L^{-1}\left\{ \frac{2}{s^2\left( s^2+2\right)}\right\}+3*\frac{1}{ \sqrt{2}}*L^{-1}\left\{ \frac{\sqrt{2}}{s^2+{ \sqrt{2}}^2}\right\}}\)

\(\displaystyle{ y\left( t\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{s\left( s^2+2\right)} \right\}+L^{-1}\left\{ \frac{2}{s^2\left( s^2+2\right)}\right\}+\frac{3\sqrt{2}}{ 2}sin\left( { \sqrt{2}t}\right)}\)

Na pierwszy oraz drugi składnik prawej strony nie mam kompletnie pomysłu, pomocy

-- 8 cze 2016, o 19:51 --

mógłbym skorzystać z , ale - w mianowniku jest problematyczny.

[macik1423]

W a) z \(\displaystyle{ \frac{1}{s+1}}\) nic nie zrobiłeś.

[KubaJBSK]

A no faktycznie uciekło mi no ale tam będzie \(\displaystyle{ e^{-t}}\)

Najbardziej rozchodzi ki się o ostatni przykład co znim?

[kerajs]

\(\displaystyle{ y\left( s\right)*\left(s^2+2 \right)= \frac{1}{s}+\frac{2}{s^2}+3}\)

\(\displaystyle{ y(s)= \frac{s+2+3s^2}{s^2(s^2+2)} = \frac{A}{s}+ \frac{B}{s^2}+ \frac{Cs+D}{s^2+2} \\
y(s)=\frac{ \frac{1}{2} }{s}+ \frac{1}{s^2}+ \frac{\frac{-1}{2}s+2}{s^2+2}}\)

[KubaJBSK]

szkopuł w tym że jest to przykład z kolokwium na którym miało nie być rozkładu na ułamki proste

[Mariusz M]

KubaJBSK, a co miałeś , residua, twierdzenie Borela o splocie, liczenie bezpośrednio całką


To że rozkład na ułamki proste działa wynika z liniowości transformaty

[KubaJBSK]

Żadne z powyższych (to nie było na matematyce) czy na pewno do tego momentu na którym stanąłem wszystkie obliczenia są ok?-- 9 cze 2016, o 23:13 --może w ten sposób (proszę o weryfikację):
\(\displaystyle{ y\left( t\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{s\left( s^2+2\right)} \right\}+L^{-1}\left\{ \frac{2}{s^2\left( s^2+2\right)}\right\}+\frac{3\sqrt{2}}{ 2}sin\left( { \sqrt{2}t}\right)}\)

\(\displaystyle{ y\left( t\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{s\left( s^2-\left( -\sqrt{2}\right)^2 \right)} \right\}+L^{-1}\left\{ \frac{2}{s^2\left( s^2-\left( -\sqrt{2}\right)^2 \right)}\right\}+\frac{3\sqrt{2}^2}{ 2}sin\left( { \sqrt{2}t}\right)}\)

Z tym że to przejście nie jest prawidłowe =/

\(\displaystyle{ y\left( t\right)=\frac{1}{\left( -\sqrt{2}\right) ^2}\left( -cosh\sqrt{2}t-1\right)+\frac{2}{\left( -\sqrt{2}\right) ^3}\left( -cosh\sqrt{2}t+\sqrt{2}t\right)+\frac{3\sqrt{2}^2}{ 2}sin\left( { \sqrt{2}t}\right)}\)