Obszar całkowania i zmiana kolejności

[Kubelek123]

cześć,

Mam problem z taką całką. Wydaje mi się, że rozbije się na kilka całek, ale nie umiem tego racjonalnie wytłumaczyć.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{4}dx \int_{ \sqrt{4x-x^2} }^{2 \sqrt{x} } f(x, y)dy}\)

Na rysunku wygląda to jak żagiel z wyciętym na dole kołem

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}y^2 \le x \le}\)
i
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 4}\)

?

z góry dziękuję za podpowiedzi!

[kerajs]

Przy zmienionych zmiennych obszar nie jest normalny. Dzielę go na trzy obszary normalne :
D1:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 2 \\
\frac{1}{4}y^2 \le x \le 2- \sqrt{4-y^2}}\)
D3:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 2 \\
2+ \sqrt{4-y^2} \le x \le 4}\)
D1:
\(\displaystyle{ 2 \le y \le 4 \\
\frac{1}{4}y^2 \le x \le 4}\)

[Kubelek123]

Przy zmienionych zmiennych obszar nie jest normalny. Dzielę go na trzy obszary normalne :
D1:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 2 \\
\frac{1}{4}y^2 \le x \le 2- \sqrt{4-y^2}}\)
D3:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 2 \\
2+ \sqrt{4-y^2} \le x \le 4}\)
D1:
\(\displaystyle{ 2 \le y \le 4 \\
\frac{1}{4}y^2 \le x \le 4}\)

Tak jak myślałem, dzięki.

funkcja opisująca \(\displaystyle{ x}\) wygląda tak \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{4-y^2}}\)

Zatem dlaczego tam jest minus? Domyślam się, że to chodzi o przedział, ale nie widzę tego, mógłby jeszcze podpowiedzieć?


\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx \int_{ 1 }^{|x| } f(x, y)dy}\)

Czy w takim przypadku rozwiązaniem jest:

D1:
\(\displaystyle{ -1 \le y \le 0}\)
\(\displaystyle{ -1 \le x \le 1}\)
D2:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 1}\)
\(\displaystyle{ -1 \le x \le y}\)
D3:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \le x \le -y}\)

Czy robi się to na odwrót, odejmując?

[kerajs]

funkcja opisująca \(\displaystyle{ x}\) wygląda tak \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{4-y^2}}\)
Zatem dlaczego tam jest minus?

Jedną z granic całkowania (lik dolny żagla) była funkcja:
\(\displaystyle{ y= \sqrt{4x-x^2}}\)
Jest to górny półokrąg okręgu:
\(\displaystyle{ y^2=4x-x^2\\
x^2-4x+y^2=0\\
(x-2)^2+y^2=4}\)
Ten pólokrąg nie jest funkcją x=f(y), dlatego rozbijam go na dwie ćwiartki (dwa półokręgi okręgu):
\(\displaystyle{ (x-2)^2=4-y^2\\
\left| x-2\right|= \sqrt{4-y^2} \\
x-2= \sqrt{4-y^2} \vee x-2=- \sqrt{4-y^2}\\
x=2+ \sqrt{4-y^2} \vee x=2- \sqrt{4-y^2}}\)
Lewa funkcja ogranicza jeden z obszarów od dołu, a prawa inny obszar od góry.

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx \int_{ 1 }^{|x| } f(x, y)dy}\)

Chyba powinno być:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx \int_{ \left| x\right| }^{ 1} f(x, y)dy=
\int_{-1}^{0}dx \int_{ -x }^{1 } f(x, y)dy+\int_{0}^{1}dx \int_{ x }^{1 } f(x, y)dy}\)
Zmiana granic całkowania daje
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}dy \int_{ -y }^{y } f(x, y)dx}\)

[Kubelek123]

Racja, po prostu zapomniałem o module...

w Drugim przypadku gdzieś zniknął mi minus \(\displaystyle{ -}\) w dolnej granicy przy\(\displaystyle{ dy}\)

Dziękuję

[kerajs]

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx \int_{ \red - \black 1 }^{|x| } f(x, y)dy}\)

Czy w takim przypadku rozwiązaniem jest:

D1:
\(\displaystyle{ -1 \le y \le 0}\)
\(\displaystyle{ -1 \le x \le 1}\)
D2:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 1}\)
\(\displaystyle{ -1 \le x \le y}\)
D3:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \le x \le -y}\)

Prawie OK
D1:
\(\displaystyle{ -1 \le y \le 0}\)
\(\displaystyle{ -1 \le x \le 1}\)
D2:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 1}\)
\(\displaystyle{ -1 \le x \le \red -y}\)
D3:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 1}\)
\(\displaystyle{ \red y \black \le x \le \red 1}\)

Można też odejmować
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dy \int_{ -1 }^{1} f(x, y)dx-\int_{-1}^{1}dy \int_{ -y }^{y} f(x, y)dx}\)