Moc zbioru liczb wymiernych i niewymiernych.

[freeszpak]

Znam dowód tego, że liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie wiele (metoda przekątniowa), znam też dowód faktu, że liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele. Jednak kiedy próbuję za pomocą rozumowania przekątniowego wywnioskować moc zbioru liczb wymiernych, to wychodzi, że jest ich nieprzeliczalnie wiele Nie uważam, że coś odkryłem, tylko zastanawia mnie gdzie jest błąd. Próbuję ustawić liczby wymierne w ciąg i tworzę tą liczbę która na pewno w nim nie wystąpi i wychodzi mi, że podobnie jak w liczbach rzeczywistych, taka liczba istnieje.

[leg14]

Jaki to ciąg i jaka liczba?

[freeszpak]

Obojętnie jaki ciąg, pierwszy lepszy z wikipedii:

\(\displaystyle{ 0,267888928717743...

0,271673820983098...

0,219212212222222...

0,342111334423422...

0,213421113344234...

0,954112122893457...

0,739208396716263..}\)

I liczba np \(\displaystyle{ 0,3802334...}\) która na k-tym miejscu ma inną cyfrę niż k-ta liczba w ciągu. Każda z tych liczb z ciągu jest przecież wymierna bo zawsze możemy zrobić, np dla pierwszej z tych liczb \(\displaystyle{ \frac{271673820983098}{10000000000000000}}\)

[Jan Kraszewski]

I liczba np \(\displaystyle{ 0,3802334...}\) która na k-tym miejscu ma inną cyfrę niż k-ta liczba w ciągu.

A na jakiej podstawi twierdzisz, że ta skonstruowana przez Ciebie liczba jest wymierna?

JK

[freeszpak]

Na tej, że skoro jest to \(\displaystyle{ k-ta}\) liczba, to musi mieć \(\displaystyle{ k}\) cyfr po przecinku, zatem skończenie wiele. Biorę te cyfry i dzielę przez \(\displaystyle{ 10}\) do odpowiedniej potęgi

Edit: Oczywiście powinna mieć co najmniej \(\displaystyle{ k}\) cyfr po przecinku, nie dokładnie tyle ale można ustalić, że ma mieć dokładnie tyle

[Dasio11]

Jeszcze raz. Ustawiasz liczby wymierne w ciąg. Następnie definiujesz liczbę \(\displaystyle{ x}\) tak, że dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) ta liczba na \(\displaystyle{ k-}\)tym miejscu po przecinku różni się od \(\displaystyle{ k-}\)tej liczby w tym ciągu.

Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą wymierną?

[freeszpak]

Stąd, że ma ona \(\displaystyle{ k}\) cyfr po przecinku, zatem mogę zapisać liczbę wymierną postaci \(\displaystyle{ \frac{wszystkie te cyfry po przecinku}{10 ^{k} }}\), która będzie równa liczbie \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ k}\) może być przecież dowolnie duże, zatem nie widzę tu błędu

[a4karo]

Oj mam wrażenie, że metody przekątniowej nie zrozumiałeś. Ta liczba ma nieskończenie wiele cyfr.

[freeszpak]

Aha, to wszystko jasne. Myślałem, że może mieć potencjalnie dowolnie wiele cyfr a nie aktualnie
W tym tkwił problem, dzięki bo nie dawało mi to spokoju.