Obliczyć całkę potrójną

[Sundaybadday]

Jak w temacie:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{A}^{} (x ^{2}+ y ^{2}+z ^{2}) ^{-3} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)
gdzie \(\displaystyle{ A= { (x,y,z): x ^{2}+y ^{2}+z ^{2} \ge 1 }}\)

Próbuję to robić tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\cos(\psi)\cos(\phi) \\ y=r\cos(\psi)\sin(\phi) \\z=r\sin(\psi) \\ J=r ^{2}
\sin(\psi) \end{cases}}\)
Podstawiam je do nieróności i otrzymuję:
\(\displaystyle{ r ^{2} \ge 1 \Rightarrow r \ge 1 , \psi \in <- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}>, \phi \in <0, 2\pi>}\)

Czy sposób rozwiązywania jest dobry?

[a4karo]

Najpierw popraw zapis, bi nie wszystko widać. Współrzędne sferyczne sa jak najbardziej na miejscu.

[Sundaybadday]

Poprawiłem

-- 5 cze 2016, o 09:51 --

Dalej postępuję tak:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{A}^{} (x ^{2}+ y ^{2}+z ^{2}) ^{-3} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z=\int_{}^{} \int_{}^{} \int_{D}^{} (r ^{2}\sin\psi) ^{-3} \mbox{d}r \mbox{d}\psi \mbox{d}\phi = \lim_{ a\to \infty } \int_{1}^{a} \mbox{d}r \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\phi \int_{- \frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2}} (r ^{2}\sin\psi) ^{-3} \mbox{d}\psi}\)

Ma to sens?

[a4karo]

Nie ma. Dlaczego jakobian włożyłes do mianownika?
I jak wygląda obszar całkowania w nowych zmiennych ?

[Sundaybadday]

\(\displaystyle{ \lim_{ a\to \infty } \int_{1}^{a} \mbox{d}r \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\phi \int_{- \frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2}} r ^{-4}\cos\psi \mbox{d}\psi}\) Co do obszaru całkowania to ten który wyznaczyłem ze współrzędnych sferycznych-- 5 cze 2016, o 10:44 --Wydaje mi się, że muszę zamienić obszar całkowania \(\displaystyle{ r}\), bo nie ma on sensu, wydaje mi się ,że muszę go uzależnić od kąta. Niestety kompletnie nie wiem jak to zrobić, analizowałem podobny przykład w książce niestety wyjaśnienie tego jest dla mnie nie zrozumiałe.

[a4karo]

Obszar całkowania jest ok, ale funkcja calkowana zła.

Oblicz wartość funkcji pod oryginalna całka w nowych zmiennych i pomnoż przez jakobian

Edit;wartość całki wyjdzie poprawna, ale skąd wziąłeś kosinus?

[Sundaybadday]

Z jakobianu, tylko na początku posta popełniłem błąd bo jakobian powinien wyglądać tak :
\(\displaystyle{ J=r ^{2} \cos(\phi)}\)

[a4karo]

Ok

[Sundaybadday]

Otrzymałem taki wynik: \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{2} }{3} \pi}\)