Losujemy \(\displaystyle{ k}\) kul z urny zawierającej kule z numerami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) (ze zwracaniem).
Niech \(\displaystyle{ X}\)-najmniejsza wylosowana kula, \(\displaystyle{ Y}\)- największa wylosowana kula.
Pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}X+\mathbb{E}Y=n+1}\).
Próbowałam wyznaczyć rozkład tych zmiennych losowych ale przy liczeniu w.oczekiwanej wyszły mi "brzydkie" sumy. Na pewno można zrobić to sprytniej. Macie jakieś pomysły?
Tożsamość z wartością oczekiwaną
-
princess691
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 2 razy
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 479
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 156 razy
Tożsamość z wartością oczekiwaną
Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie zbiorem wszystkich ciągów \(\displaystyle{ k}\)-elementowych o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,...,n\}}\). Zadajemy:
\(\displaystyle{ T:\Omega\rightarrow \Omega}\) wzorem:
\(\displaystyle{ T(a_1,...,a_k)=(n+1-a_1,n+1-a_2,...,n+1-a_k)}\)
Z tego, że \(\displaystyle{ T}\) jest bijekcją, wynika, że podzbiór \(\displaystyle{ A\subseteq\Omega}\) ma tyle samo elementów co \(\displaystyle{ T(A)\subseteq \Omega}\). Na \(\displaystyle{ \Omega}\) rozpatrywane jest prawdopodobieństwo klasyczne. Zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(T(A))}\)
dla każdego zdarzenia \(\displaystyle{ A\subseteq \Omega}\).
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ l_1\leq l_2}\) mamy:
\(\displaystyle{ T(\{X=l_2,\,Y=l_1\})=\{X=n+1-l_1, Y=n+1-l_2\}}\)
Na mocy poprzednich uwag:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=\mathbb{P}(T(\{X=l_2,\,Y=l_1\}))=}\)
\(\displaystyle{ =\mathbb{P}(\{X=n+1-l_1, Y=n+1-l_2\})}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 2\mathbb{E}(X+Y)=2\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(l_1+l_2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(l_1+l_2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)+\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(n+1-l_1+n+1-l_2)\mathbb{P}(X=n+1-l_1,\,Y=n+1-l_1)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(l_1+l_2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)+\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(n+1-l_1+n+1-l_2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(2n+2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=}\)
\(\displaystyle{ =(2n+2)\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=(2n+2)\mathbb{P}(\Omega)=2n+2}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 2\mathbb{E}(X+Y)=2n+2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X+Y)=n+1}\)
\(\displaystyle{ T:\Omega\rightarrow \Omega}\) wzorem:
\(\displaystyle{ T(a_1,...,a_k)=(n+1-a_1,n+1-a_2,...,n+1-a_k)}\)
Z tego, że \(\displaystyle{ T}\) jest bijekcją, wynika, że podzbiór \(\displaystyle{ A\subseteq\Omega}\) ma tyle samo elementów co \(\displaystyle{ T(A)\subseteq \Omega}\). Na \(\displaystyle{ \Omega}\) rozpatrywane jest prawdopodobieństwo klasyczne. Zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(T(A))}\)
dla każdego zdarzenia \(\displaystyle{ A\subseteq \Omega}\).
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ l_1\leq l_2}\) mamy:
\(\displaystyle{ T(\{X=l_2,\,Y=l_1\})=\{X=n+1-l_1, Y=n+1-l_2\}}\)
Na mocy poprzednich uwag:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=\mathbb{P}(T(\{X=l_2,\,Y=l_1\}))=}\)
\(\displaystyle{ =\mathbb{P}(\{X=n+1-l_1, Y=n+1-l_2\})}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 2\mathbb{E}(X+Y)=2\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(l_1+l_2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(l_1+l_2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)+\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(n+1-l_1+n+1-l_2)\mathbb{P}(X=n+1-l_1,\,Y=n+1-l_1)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(l_1+l_2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)+\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(n+1-l_1+n+1-l_2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}(2n+2)\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=}\)
\(\displaystyle{ =(2n+2)\sum_{1\leq l_1\leq l_2\leq n}\mathbb{P}(X=l_2,\,Y=l_1)=(2n+2)\mathbb{P}(\Omega)=2n+2}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 2\mathbb{E}(X+Y)=2n+2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X+Y)=n+1}\)