Znaleźć punkty zerowe i zbadać ich krotność.

[insanis]

Znaleźć punkty zerowe i zbadać ich krotność.

\(\displaystyle{ f(z)=e^{z^2}-1}\)



\(\displaystyle{ e^{z^2}-1=0}\)

\(\displaystyle{ e^{z^2}=1}\)

\(\displaystyle{ z^2=2k \pi i}\)

\(\displaystyle{ z_{k})= \sqrt{2k \pi i}}\)


\(\displaystyle{ f'(z)=2ze^{z^2}}\)
\(\displaystyle{ f'(z_{k} \neq 0}\)

więc zero 1-krotne?

[Slup]

Po pierwsze dla \(\displaystyle{ k\neq 0}\):
\(\displaystyle{ z^2=2\pi k i}\)
ma dwa różne rozwiązania.
Jeżeli \(\displaystyle{ k>0}\), to:
\(\displaystyle{ u_k=\sqrt{2\pi k}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin{\frac{\pi}{4}})}\)
oraz:
\(\displaystyle{ v_k=-\sqrt{2\pi k}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin{\frac{\pi}{4}})}\)
jeżeli \(\displaystyle{ k<0}\), to:
\(\displaystyle{ u_k=\sqrt{2\pi |k|}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ v_k=-\sqrt{2\pi |k|}}\)
Po drugie dla \(\displaystyle{ k=0}\)
masz \(\displaystyle{ z=0}\) i:
\(\displaystyle{ e^{z^2}-1=\frac{z^2}{1!}+\frac{z^4}{2!}+\frac{z^6}{3!}+...}\)
to oznacza, że to zero będzie dwukrotne.
Tutaj napisana jest nieprawda:

Ukryta treść:    

Ogólnie \(\displaystyle{ f(z)=e^{z^2}-1}\) będzie dwukrotna na całej płaszczyźnie.

[Dasio11]

Ogólnie \(\displaystyle{ f(z)=e^{z^2}-1}\) będzie dwukrotna na całej płaszczyźnie.

Co to znaczy?

[Slup]

Ogólnie \(\displaystyle{ f(z)=e^{z^2}-1}\) będzie dwukrotna na całej płaszczyźnie.

Co to znaczy?

To powinno znaczyć tyle(w mądrych słowach), że:
\(\displaystyle{ f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\setminus \{0\}}\)
jest nakryciem dwukrotnym rozgałęzionym. W prostych słowach(w tym wypadku) oznacza to, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ p\in \mathbb{C}\setminus \{0\}}\) przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(p)}\) jest dwupunktowy lub równanie \(\displaystyle{ f(p)-p=0}\) ma podwójny pierwiastek.
Niestety napisałem nieprawdę, bo \(\displaystyle{ f}\) nie jest dwukrotnym nakryciem rozgałęzionym \(\displaystyle{ \mathbb{C}\setminus \{0\}}\) tylko nakryciem rozgałęzionym o nieskończonej krotności, co właściwie pokazuje rozwiązanie wyżej lub co widać gołym okiem(zazwyczaj). Poprawiam. Dziękuje za to pytanie.