Zbadaj wypukłość funkcji

[Jujka123]

Mam problem z daną funkcją:

\(\displaystyle{ f(x,y)=\cosh (x ^{2}+y ^{2})}\)

Liczyłam drugą pochodną, która jest:
\(\displaystyle{ \frac{d ^{2} }{dx ^{2} }= 2(\sinh (x ^{2}+y ^{2})+2x ^{2} \cosh (x ^{2}+y ^{2} ))}\)
\(\displaystyle{ \frac{d ^{2} }{dy ^{2} }= 2(2y ^{2} \cosh (x ^{2}+y ^{2})+\sinh (x ^{2}+y ^{2} ))}\)

Ale dalej nie wiem co robić...

[M Maciejewski]

Wypukłość jakiej funkcji mamy zbadać?

[Jujka123]

\(\displaystyle{ f(x,y)= \cosh(x ^{2}+y ^{2})}\)

[Premislav]

bzdury, nie czytać:    

To ja mam taką propozycję:
1) wykaż, że \(\displaystyle{ g(x,y)=x^{2}+y^{2}}\) jest wypukła.
2) lemat: jeśli funkcja dwóch zmiennych \(\displaystyle{ g}\) jest wypukła oraz funkcja \(\displaystyle{ h}\) jednej zmiennej jest wypukła i dodatnia, to ich superpozycja: \(\displaystyle{ f(x,y)=h(g(x,y))}\) jest funkcją wypukłą (własnie sobie coś takiego wymyśliłem, to powinno być OK i dowód wygląda na zwykłe zastosowanie definicji). Oczywiście cosinus hiperboliczny jest wypukły w \(\displaystyle{ \RR}\), bo jego druga pochodna to on sam (czyli funkcja dodatnia).
I omijamy nadmiar rachunków.

[a4karo]

To akurat nie jest prawdą (\(\displaystyle{ 1/r^2}\)

Badanie wypukłosci funkcji dwóch zmiennych polega na badaniu jej na dowolnym odcinku .wybierz sobie dwa punkty, spatamtryzuj odcinek i badań funkcje jednej zmiennej.

-- 3 cze 2016, o 15:19 --

Prawdziwa jest inna wersja
:\(\displaystyle{ g}\) wypukła, \(\displaystyle{ h}\) wypukła i rosnąca, to złożenie jest wypukłe

[Jujka123]

A mógłby ktoś mi pomóc sprametryzować ?

[Premislav]

Mając punkty \(\displaystyle{ (x,y)}\) oraz \(\displaystyle{ (z,t) \in \RR^{2}}\), możesz sparametryzować odcinek je łączący np. tak:
\(\displaystyle{ X=(1-\alpha) \cdot (x,y)+\alpha \cdot (z,t)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]}\)
albo tak:
\(\displaystyle{ X=(x,y)+\alpha \cdot((z,t)-(x,y)), \alpha \in [0,1]}\)

-- 4 cze 2016, o 13:27 --

Wygodniej będzie zapewne skorzystać z tego pierwszego sposobu.

[Jujka123]

Jeżeli spytam, że dalej do końca nie rozumiem, będzie źle? (i poproszę o pomoc)

[Premislav]

Namieszałem tamtą głupią "wskazówką", którą schowałem, więc może przedstawię rozwiązanie.
Niech \(\displaystyle{ f(x,y)=\cosh(x^{2}+y^{2})}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^{2}, (z,t) \in \RR^{2}}\) i dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]}\). Sprawdzimy, że wówczas
\(\displaystyle{ (1-\alpha) f(x,y)+\alpha f(z,t) \ge f\left((1-\alpha)(x,y)+\alpha (z,t) \right)}\) - to jest warunek wprost z definicji wypukłości.

Mamy \(\displaystyle{ f((1-\alpha)x+\alpha z, (1-\alpha)y+\alpha t)=\cosh\left( ((1-\alpha)x+\alpha z)^{2}+((1-\alpha)y+\alpha t)^{2}\right)}\)
Funkcja jednej zmiennej \(\displaystyle{ g(a)=\cosh(a)}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ a>0}\), gdyż \(\displaystyle{ g'(a)=\sinh(a)= \frac{e^{a}-e^{-a}}{2}>0}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\).

Ponadto funkcja \(\displaystyle{ h(x,y)=x^{2}+y^{2}}\) jest wypukła, gdyż jej hesjan to
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{array} \right]}\) - ma on podwójną wartość własną \(\displaystyle{ 2}\), która jest ściśle dodatnia. Można też badać wypukłość \(\displaystyle{ h(x,y)}\) wprost z definicji.

Zatem: \(\displaystyle{ ((1-\alpha)x+\alpha z)^{2}+((1-\alpha)y+\alpha t)^{2}= h((1-\alpha)(x,y)+\alpha (z,t)) \le \\ \le(1-\alpha)h(x,y)+\alpha h(z,t)=(1-\alpha)(x^{2}+y^{2})+\alpha(z^{2}+t^{2})}\)
i ponieważ cosinus hiperboliczny jest rosnący dla argumentów rzeczywistych dodatnich, a kombinacja wypukła kwadratów niewątpliwie jest nieujemna, to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \cosh\left( ((1-\alpha)x+\alpha z)^{2}+((1-\alpha)y+\alpha t)^{2}\right) \le \cosh \bigg((1-\alpha)(x^{2}+y^{2})+\alpha(z^{2}+t^{2})\right) \bigg)}\)
Wreszcie cosinus hiperboliczny jako funkcja jednej zmiennej jest wypukły, gdyż
jego druga pochodna to on sam, a mamy \(\displaystyle{ \cosh t>0}\) (a nawet \(\displaystyle{ \cosh t \ge 1}\)) dla dowolnego \(\displaystyle{ t\in \RR}\).
Stąd: \(\displaystyle{ \cosh \bigg((1-\alpha)(x^{2}+y^{2})+\alpha(z^{2}+t^{2})\right) \bigg) \le (1-\alpha)\cosh(x^{2}+y^{2})+\alpha \cosh(z^{2}+t^{2})=(1-\alpha)f(x,y)+\alpha f(z,t)}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ (x,y)}\) i \(\displaystyle{ (z,t) \in \RR^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]}\)
Być może Pan a4karo miał na myśli coś bardziej eleganckiego, ale skoro już napisałem bzdurę, to poczuwam się do przedstawienia rozwiązania.

[a4karo]

Premislav, wyrwałeś mnie do tablicy, to masz

wzorem Premislava, napiszmy parametryzację odcinka o końcach \(\displaystyle{ (a_1,b_1)}\) i \(\displaystyle{ (a_2,b_2)}\) (przepraszam za zmianę oznaczeń, ale wolę tak, żeby nie pomieszać punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) z argumentami funkcji):
\(\displaystyle{ x(t)=(1-t)a_1+ta_2\\
y(t)=(1-t)b_1+tb_2}\)

Wtedy \(\displaystyle{ x^2(t)+y^2(t)=(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2)t^2+\mu t+\nu}\) (nie wyliczam \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \nu}\), bo są nieistotne) jest funkcją wypukłą zmiennej \(\displaystyle{ t}\) (bo to wszak funkcja kwadratowa z dodatnim współczynnikiem przy \(\displaystyle{ t^2}\) i na dodatek nieujemna (bo lewa struna jest sumą kwadratów)

Funkcja \(\displaystyle{ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}\) jest parzysta, wypukła (jako suma dwóch funkcji wypukłych - zdecydowanie wolę taki argument niż liczenie drugiej pochodnej) - stąd wniosek, że dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) jest rosnąca. Zatem złożenie \(\displaystyle{ \cosh(x^2(t)+y^2(t))}\) jest wypukłe na mocy tego, co napisałem wcześniej.