Przedział zbieżności

michalj143 · Post autor: **michalj143** » 2 cze 2016, o 22:09

Znaleźć rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy o środku w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=1}\) i wyznaczyć przedział zbieżności.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{4x}{2x-1}}\)

Rozwinięcie wyszło mi takie:
\(\displaystyle{ \frac{4x}{2x-1}=4-4(x-1)+8(x-1)^{2}-16(x-1)^{3}+...}\)
Ale jak policzyć promień zbieżności?
Z góry dziękuję.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 2 cze 2016, o 22:27

Rozwinięcie wygląda w porządku. Ten szereg to innymi słowy
\(\displaystyle{ 2+ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^{n}2^{n+1}(x-1)^{n}}\)

By obliczyć promień zbieżności, wystarczy zastosować twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego-Hadamarda

michalj143 · Post autor: **michalj143** » 2 cze 2016, o 22:42

\(\displaystyle{ R= \frac{1}{2}}\)?
Przedział zbieżności: \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2} \right)}\)?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 2 cze 2016, o 22:44

Wszystko się zgadza.

michalj143 · Post autor: **michalj143** » 2 cze 2016, o 22:46

To super. Nie byłem pewny czy dobrze to robię.
W takim razie jeszcze raz dziękuję za pomoc.