Oblicz granicę

[michalj143]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}}\)

[Premislav]

Sposób pierwszy: z twierdzenia Stolza.

Sposób drugi:
to jest suma Riemanna dla całki
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx}\), więc granica jest równa tej całce.

[michalj143]

Czyli wynik to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)?
Nie rozumiem, dlaczego akurat taka całka. Skąd to się wzięło?

[Premislav]

Zgadza się, wynik to \(\displaystyle{ \frac 2 3}\).
Już tłumaczę: zapiszmy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}}\) w takiej postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\cdot \sqrt{ \frac{1}{n} }+ \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{2}{n} }+...+ \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{n}{n} }}\). Czyli ogólnie mamy taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{k}{n} }}\)
Punkty \(\displaystyle{ \frac{k}{n}}\) zadają podział odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) na \(\displaystyle{ n}\) przedziałów, każdy o długości \(\displaystyle{ \frac 1 n}\). Ta suma, którą napisałem, to więc nic innego jak
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}f\left( \frac 1 n\right) +\frac 1 n f(\frac 2 n)+...+\frac 1 n f\left( \frac n n\right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\). Czyli taka suma wartości o następującej postaci:
długość przedziału od \(\displaystyle{ \frac{k-1}{n}}\) do \(\displaystyle{ \frac{k}{n}}\) pomnożona przez wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) w prawym końcu przedziału.
Przedziały te mają najwyżej jednopunktowe przekroje, sumują się do \(\displaystyle{ [0,1]}\) i ich długość dąży do zera, gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). Oczywiście funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) jest ciągła na odcinku \(\displaystyle{ [0,1].}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \sqrt{\frac k n}= \int_{0}^{1} \sqrt{x}dx}\)

-- 2 cze 2016, o 16:27 --

To jeszcze rozwinę sposób z twierdzenia Stolza:
bierzemy \(\displaystyle{ a_{n}=1+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\)} oraz \(\displaystyle{ b_{n}=n\sqrt{n}}\). Oczywiście
\(\displaystyle{ (b_{n})_{n}}\) jest ciągiem rosnącym i rozbieżnym do \(\displaystyle{ \infty}\). Zatem jeśli istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=g}\), to także
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=g}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}= \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}-(n-1)\sqrt{n-1}}= \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n}(n\sqrt{n}+(n-1)\sqrt{n-1})}{n^{3}-(n-1)^{3}}}\)
i dalej już sobie powinieneś poradzić, rozwijasz ze wzoru na różnicę sześcianów mianownik, dzielisz licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^{2}}\) i wychodzi.

[michalj143]

Bardzo dziękuję. Chyba rozumiem.
A taki przykład?

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{4n+1}+\frac{1}{4n+2}+...+\frac{1}{4n+n}}\)

Z tej drugiej metody chyba nie da się tu skorzystać, prawda?
A z pierwszej, żeby zwinąć to w szereg to będzie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4n+k}}\)?
Ale jak z tego teraz wyprowadzić tę funkcję f(x)? A może powinienem najpierw sprowadzić to jakoś do wspólnego mianownika?

[Premislav]

Tak, da się skorzystać z metody z całką. Wyciągnij \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) przed każdy ułamek, a otrzymasz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{4+ \frac{1}{n} }+ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{4+ \frac{2}{n} }+...+ \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{4+ \frac{n}{n} }}\)
Czyli tak jakby \(\displaystyle{ \frac{1}{n}f\left( \frac 1 n\right)+...+ \frac{1}{n}f\left( \frac{n}{n} \right)}\) (znowu te punkty zadają podział odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\)).
Jaka \(\displaystyle{ f}\) tutaj się narzuca? Popatrz jakie elementy powtarzają się w każdym ułamku i gdzie ląduje "argument".

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{4+x}}\)

-- 2 cze 2016, o 20:27 --

Mam również na to zadanie inny sposób:
jak może wiesz, ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=H_{n}-\ln n}\), gdzie \(\displaystyle{ H_{n}= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}\), jest zbieżny do pewnej liczby \(\displaystyle{ \gamma \in (0,1)}\) (stała Eulera-Mascheroniego).

Zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{4n+1}+...+ \frac{1}{4n+n} =\\=H_{5n}-H_{4n}=(H_{5n}-\ln(5n))+\ln(5n)-(H_{4n}-\ln(4n))-\ln 4n \rightarrow \ln \frac{5}{4}+\gamma-\gamma}\),
bo skoro istnieje ta granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (H_{n}-\ln n)=\gamma}\), to każdy podciąg tego ciągu zbiega do tejże granicy.

[michalj143]

f(x)=\(\displaystyle{ \frac{1}{4+x}}\)
Czyli granica całego tego ułamka to \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{4+x}}\)dx?

[Premislav]

Zgadza się.-- 2 cze 2016, o 20:39 --*granica sumy ułamków

[michalj143]

Ok, już wszystko rozumiem! Dziękuję bardzo.

[Premislav]

Proszę bardzo.