Całka podwójna - współrzędne biegunowe

[Balusiek]

\(\displaystyle{ \iint_{D} (x^2+y^2) dx dy}\)
\(\displaystyle{ D: x^2+y^2-4y \le 0}\)
Mam skorzystać współrzędnych biegunowych. Obszarem całkowania jest okrąg o S(0,2) i promieniu 2.
Nie jestem jednak pewna granic.
Czy to będą dobre granice?
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \le 2*pi}\)
\(\displaystyle{ r^2*cos \alpha +r^2*sin\alpha-4rsin\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ r(r-4sin\aplha)=0}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 4sin\alpha}\)

[Premislav]

Obszarem całkowania jest okrąg o S(0,2) i promieniu 2.

To się zgadza.

\(\displaystyle{ r^2*cos \alpha +r^2*sin\alpha-4rsin\alpha=0}\)

A to skąd??

Ja proponuję podstawić:
\(\displaystyle{ x=rcos alpha \y=2+rsin alpha \ alpha in [0,2pi)\ 0 le r le 2}\)
Ogólnie gdy masz obszar ograniczony przez okrąg o środku w \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) i promienu \(\displaystyle{ R}\),
to wygodnie jest spramateryzować obszar przez
\(\displaystyle{ x=x_{0}+r\cos \alpha \\y=y_{0}+r\sin \alpha}\)
gdzie \(\displaystyle{ alpha in [0,2pi)}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \le r \le R}\).
Jakobian wtedy i tak wyjdzie \(\displaystyle{ r}\).

[Balusiek]

Obszarem całkowania jest okrąg o S(0,2) i promieniu 2.

To się zgadza.

\(\displaystyle{ r^2*cos \alpha +r^2*sin\alpha-4rsin\alpha=0}\)

A to skąd??

Źle przepisałam, miałam na myśli
\(\displaystyle{ r^2*cos^2 \alpha +r^2*sin^2\alpha-4rsin\alpha=0}\)
a wzięło się to z podstawienia \(\displaystyle{ x=rcos \alpha}\) i \(\displaystyle{ y=rsin \alpha}\) do równania okręgu

[Premislav]

A, to w takim razie w porządku. Może troszkę mniej wygodnie jest tak robić (choć to może kwestia gustu), ale jak najbardziej można. W standardowych współrzędnych biegunowych równanie krzywej, która ogranicza ten obszar faktycznie ma postać
\(\displaystyle{ r(r-4\sin \alpha)=0}\)

Masz zatem do policzenia całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{4\sin \alpha} r^{3} dr d\alpha}\)

[Balusiek]

W takim razie dziękuję, z policzeniem całki już sobie poradzę