Calka potrójna - obliczanie objętosci

[janusz2000]

Witam,

mam do obliczenia objętość ograniczoną funkcjami:

\(\displaystyle{ x^2 +y^2 + z^2 = 2az \\
x^2 +y^2 = z^2 \\}\)

Przechodze na wspolrzedne sferyczne (wersja geograficzna, czyli kat \(\displaystyle{ \psi}\) pomiedzy rzutem prostopadlym a wektorem r.

\(\displaystyle{ x = r\cos \psi \cos \varphi \\
y = r\cos \psi \sin \varphi \\
x = r\sin \psi, \ gdzie \\
|J| = r^2 \cos \psi \\
\psi \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \\
\varphi \in [0,2\pi] \\}\)

Moje funkcje to stozek i kula, ktorej srodek lezy w \(\displaystyle{ [0,0,a]}\) o promieniu a. Rysunek jak to widze ponizej.



Latwo zauwazyc, ze objetosc ta mozna policzyc jako polowa obketosci kuli o promieniu a + stozek o promieniu a i wysokosci a. Taka objetosc \(\displaystyle{ |V| = \pi a^3}\) co nie zgadza sie z moimi obliczeniami.

Liczylem interujac calki w nastpeujacy sposob:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\psi \int_{0}^{2\arcsin \psi} dr}\)

Mam watpliwosci zwlaszcza co do kąta \(\displaystyle{ \psi}\), nie wiem czy dokonalem odpowiedniej iteracji, podobnie z dlugoscia promienia r, od dolu zaczyna sie od zera, a powinna konczyc na "dlugosci" kuli.

Bylbym ogromnie wdzieczny za pomoc i wskazanie bledu w moim rozumowaniu/obliczeniach.

[a4karo]

Oczywiście oprócz elementarnego złożenia dwóch brył można to policzyć zwykłą całką pojedynczą (bryła obrotowa wygenerowana przez przeciwprostokątną trójkąta i cwiartkę okregu, albo całką podwójną po kole o promieniu \(\displaystyle{ a}\) .

\(\displaystyle{ \phi}\) jest kątem miedzy płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\) a promieniem wodzącym, więc powinien sie zmieniać od \(\displaystyle{ \pi/4}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\).

[janusz2000]

@a4karo, dziękuję teraz wszystko sie juz zgadza.