Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe
-
szw1710
Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe
Łatwo sprawdzić, że przestrzeń jednostajnie wypukła jest też ściśle wypukła. Na odwrót to nieprawda, ale dlaczego? Czy ktoś zna przykład przestrzeni ściśle wypukłej, która nie jest jednostajnie wypukła?
-
pipol
Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe
Zachodzi następująca własność:
Niech \(\displaystyle{ (X, ||\cdot ||_1 )}\) będzie ośrodkową przestrzenią Banacha. Istnieje wówczas norma \(\displaystyle{ ||\cdot ||_2 : X \rightarrow \mathbb{R}}\) równoważna normie \(\displaystyle{ ||\cdot ||_1}\) i taka, że przestrzeń \(\displaystyle{ (X ,||\cdot ||_2 )}\) jest ściśle wypukła.
Szkic dowodu
Niech \(\displaystyle{ S=\{x\in X: ||x||_1 =1\}}\). Niech \(\displaystyle{ A=\{v_n \in S :n\in \mathbb{N}\}}\) będzie takim zbiorem, że \(\displaystyle{ \overline{A} =S.}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ v_n \in A}\) istnieje ciągły funkcjonał liniowy \(\displaystyle{ f_n :X \rightarrow \mathbb{R}}\), taki, że \(\displaystyle{ f_n (v_n ) =1}\) , \(\displaystyle{ ||f_n ||=1.}\)
Definiujemy operator \(\displaystyle{ S: X \rightarrow l^2}\)
\(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \cdot f_n (x)\cdot e_n}\) , gdzie \(\displaystyle{ e_n =(\delta_{kn} )_{k\in\mathbb{N}}\in l^2}\) jest elementem bazy ortonormalnej przestrzeni \(\displaystyle{ l^2}\).
Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ ||x||_2 =||x||_1 +||S(x)||_{l^2}}\) ma żądane własności.
Jeżeli teraz weźmiemy jakąkolwiek ośrodkową przestrzeń Banacha, która nie jest refleksywna (np. \(\displaystyle{ c_0 , l^1}\) ) to istnieje w tej przestrzeni norma ściśle wypukła, równoważna wyjściowej, która nie może być oczywiście jednostajnie wypukła.
Niech \(\displaystyle{ (X, ||\cdot ||_1 )}\) będzie ośrodkową przestrzenią Banacha. Istnieje wówczas norma \(\displaystyle{ ||\cdot ||_2 : X \rightarrow \mathbb{R}}\) równoważna normie \(\displaystyle{ ||\cdot ||_1}\) i taka, że przestrzeń \(\displaystyle{ (X ,||\cdot ||_2 )}\) jest ściśle wypukła.
Szkic dowodu
Niech \(\displaystyle{ S=\{x\in X: ||x||_1 =1\}}\). Niech \(\displaystyle{ A=\{v_n \in S :n\in \mathbb{N}\}}\) będzie takim zbiorem, że \(\displaystyle{ \overline{A} =S.}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ v_n \in A}\) istnieje ciągły funkcjonał liniowy \(\displaystyle{ f_n :X \rightarrow \mathbb{R}}\), taki, że \(\displaystyle{ f_n (v_n ) =1}\) , \(\displaystyle{ ||f_n ||=1.}\)
Definiujemy operator \(\displaystyle{ S: X \rightarrow l^2}\)
\(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \cdot f_n (x)\cdot e_n}\) , gdzie \(\displaystyle{ e_n =(\delta_{kn} )_{k\in\mathbb{N}}\in l^2}\) jest elementem bazy ortonormalnej przestrzeni \(\displaystyle{ l^2}\).
Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ ||x||_2 =||x||_1 +||S(x)||_{l^2}}\) ma żądane własności.
Jeżeli teraz weźmiemy jakąkolwiek ośrodkową przestrzeń Banacha, która nie jest refleksywna (np. \(\displaystyle{ c_0 , l^1}\) ) to istnieje w tej przestrzeni norma ściśle wypukła, równoważna wyjściowej, która nie może być oczywiście jednostajnie wypukła.
-
szw1710
Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe
Dziękuję - ładna konstrukcja. Mi się wydawało, że trzeba by zacząć od konkretnego kształtu kuli i normę określić funkcjonałem Minkowskiego, tymczasem przykład można skonstruować dużo prościej.
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Przestrzenie ściśle wypukłe i jednostajnie wypukłe
Można zrobić więcej; istnieją refleksywne przestrzenie ściśle wypukłe, które nie są izomorficzne z przestrzenią jednostajnie wypukłą.
Zacytujemy teraz głębokie twierdzenie Enflo, które mówi, że przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest izomorficzna z przestrzenią jednostajnie wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy o ile tylko \(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią Banacha o tej własności, że dla każdej przestrzeni skończenie wymiarowej \(\displaystyle{ F\subset Y}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieje taka skończenie wymiarowa podprzestrzeń \(\displaystyle{ G\subset X}\), że odległość Banacha-Mazura między \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) nie przekracza \(\displaystyle{ 1+\varepsilon}\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest refleksywna. (Innymi słowy, jeżeli można znaleźć podprzestrzenie skończenie wymiarowe \(\displaystyle{ Y}\) w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest refleksywna.) Wystarczy wziąć teraz
Zacytujemy teraz głębokie twierdzenie Enflo, które mówi, że przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest izomorficzna z przestrzenią jednostajnie wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy o ile tylko \(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią Banacha o tej własności, że dla każdej przestrzeni skończenie wymiarowej \(\displaystyle{ F\subset Y}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieje taka skończenie wymiarowa podprzestrzeń \(\displaystyle{ G\subset X}\), że odległość Banacha-Mazura między \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) nie przekracza \(\displaystyle{ 1+\varepsilon}\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest refleksywna. (Innymi słowy, jeżeli można znaleźć podprzestrzenie skończenie wymiarowe \(\displaystyle{ Y}\) w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest refleksywna.) Wystarczy wziąć teraz
- \(\displaystyle{ X=\Big( \bigoplus_{n=1}^\infty \ell_1^n \Big)_{\ell_2}.}\)