exp i całka

[sympatia17]

Czy obie strony równania są równoważne
\(\displaystyle{ e ^{\int_{0}^{\pi}\log f(x)dx}= \int_{0}^{\pi}f(x)dx}\) ?

[Premislav]

Zdecydowanie nie. Nie można tak sobie po prostu zamienić kolejności całkowania z logarytmowaniem.
Już nie wspominając o tym, że po prawej stronie \(\displaystyle{ f}\) może bywać ujemna lub równa zero na przedziale \(\displaystyle{ [0,\pi]}\), a po lewej nie, więc nawet dziedziny tych wyrażeń są różne.

Bezpośredni kontrprzykład:
niech \(\displaystyle{ f(x)=x}\). Wtedy prawa strona to
\(\displaystyle{ \frac{\pi^{2}}{32}}\), a całka w wykładniku po lewej nie jest nawet zbieżna.

[JakimPL]

Koncept po lewej jest czymś, co w literaturze nazywa się całką produktową.