Granica funkcji dwóch zmiennych

[karolkarol]

Cześć. Jak wykazać, że poniższa granica nie istnieje?

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,h)\to (0,0) }\frac{(x+h)\sin (\frac{1}{x+h})-(x-h)\sin (\frac{1}{x-h})}{2h}}\)

Niestety nie mam zielonego pojęcia jak się za to zabrać...

[Premislav]

Definicja Heinego.
Rozważ ciąg punktów: \(\displaystyle{ (x_{n},h_{n})=\left( \frac{2}{n \pi}, \frac{1}{n \pi} \right), n \in \NN^{+}}\)
Czy istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(x_{n},h_{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) to ten Twój cały ułamek?
(podpowiedź: nie, pokaż, że ten ciąg nie jest nawet ciągiem Cauchy'ego).
Wyciągnij odpowiednie wnioski.

[karolkarol]

Mam takie coś:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{3\sin (\frac{n\pi}{3})-\sin (n\pi)}{2}}\)

i nie wiem co dalej.

Możesz mi to rozpisać, bo tak nie do końca rozumiem co napisałeś.

Jest może tak, że \(\displaystyle{ \sin(n\pi)=0}\), a \(\displaystyle{ \sin(\frac{n\pi}{3})}\) jest równe albo \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}}{2}}\) albo \(\displaystyle{ 0}\) albo \(\displaystyle{ \frac{- \sqrt{3}}{2}}\) . Czy zatem już to wystarczy, że granica nie istnieje?

[Premislav]

Przekształciłeś poprawnie.
Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ \sin(n\pi)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, a ponadto
jeśli \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), to także
\(\displaystyle{ 3\sin \left(\frac{n\pi}{3}\right)=0}\), natomiast jeśli \(\displaystyle{ n=6k+2, k \in \NN}\), to
\(\displaystyle{ 3\sin\left( \frac{n\pi}{3} \right)= 3\sin\left( \frac{2\pi}{3} \right)= \frac{3\sqrt{3}}{2}}\).
Stąd nie istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(x_{n},h_{n})}\) dla ciągu punktów \(\displaystyle{ (h_{n},x_{n})}\) takiego, jak podany przeze mnie, a więc z uwagi na definicję Heinego granicy funkcji w punkcie nie istnieje też cała ta granica funkcji, tj.
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,h)\to (0,0) }\frac{(x+h)\sin(\frac{1}{x+h})-(x-h)\sin(\frac{1}{x-h})}{2h}}\)

-- 25 maja 2016, o 21:44 --

A z tym ciągiem Cauchy'ego to niepotrzebne, faktycznie nie jest to ciąg Cauchy'ego, ale tak jak napisałem jest chyba szybciej.