Stosunek promienia okręgu opisanego, do wpisanego.

[jacks99]

Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt mając dany kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\) między ramionami trójkąta.
Nie mam pomysłu, próbowałem coś z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym, ale mi nie wychodzi.

[kerajs]

Trójkąt ma boki\(\displaystyle{ d,d,2d\sin \alpha}\) i pole \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha}\)
Jednocześnie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha=P= \frac{abc}{4R}=\frac{2d^3\sin \alpha}{4R}\\
\frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha=P= \frac{r}{2}(a+b+c)=\frac{r}{2}(2d+2d\sin \alpha)}\)
Oblicz promienie i ich stosunek.

[jacks99]

\(\displaystyle{ R=\frac{2 d^{3} \sin \alpha }{4P}}\)
.
\(\displaystyle{ r=\frac{2P}{2d+2d\sin \alpha}}\)

więc

\(\displaystyle{ \frac{R}{r}=\frac{\frac{2d^{3}\sin \alpha}{4P}}{\frac{2P}{2d(1+\sin \alpha)}}}\)

po przekształceniu

\(\displaystyle{ \frac{R}{r}=\frac{d ^{4} \sin \alpha (1+\sin\alpha)}{2P}}\)

dalej nie wiem. W odpowiedziach jest:

\(\displaystyle{ \frac{R}{r}=\frac{1}{2\sin\alpha(1-\sin\alpha)}}\)

[Larsonik]

Nie doprowadziłeś do najprostszej postaci. Pamiętaj, że dany jest jedynie kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\).
Zapisz pole jako \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha}\), najlepiej już przy obliczaniu wartości promieni, trochę się poskraca, potem będzie przyjemniej. Później przy obliczaniu stosunku w mianowniku możesz wtedy skorzystać z jedynki trygonometrycznej i wzoru skróconego mnożenia.

[jacks99]

ok wyszło, dzięki wielkie