Ekstremum funkcji uwikłanej

[Sundaybadday]

Proszę o pomoc w kompletnym rozwiązaniu tego zadania. Nie rozumiem jak mam postępować. Na ćwiczeniach robiliśmy to w inny sposób, w książkach rozwiązanie jeszcze inne i kompletnie się zgubiłem.
\(\displaystyle{ f(x,y)=z}\) //Pierwsze pytanie, co to tak właściwie oznacza?
\(\displaystyle{ z^3-xyz+y^2=16}\)
Próbuję to rozwiązywać tak:

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=z^{3}-xyz +y^{2}-16}\)

Teraz powinienem stwierdzić ,że ta funkcja jest ciągła w swej dziedzinie jako ,że jest to wielomian.
Następnie liczę pochodne:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x} =-yz}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y} =-xz +2y}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial z} =3z^{2}-xy}\)

Ostatnia pochodna również jest funkcją ciągłą.

?Teraz szukam punktów podejrzanych? ( Na ćwiczeniach tego nie robiliśmy, w innych przykładach tak było, proszę o komentarz)

\(\displaystyle{ \begin{cases} F(x,y,z)=0 \\\frac{ \partial F}{ \partial x}=0\\\frac{ \partial F}{ \partial y}=0 \end{cases}}\)

Z tego układu otrzymuję punkt:
\(\displaystyle{ P _{0}(0, 0. \sqrt[3]{2 ^{4} })}\)

Sprawdzam czy \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial z}}\) w tym punkcie jest różny od zera - zgadza się.

Dalej nie wiem co mam z tym robić.
W Krysickim znalazłem coś takiego:
\(\displaystyle{ \gamma=W(x,y,z)= \frac{ \frac{ (\partial F}{ \partial y \partial x})^{2}-\frac{ \partial^{2} F}{ \partial x^{2}}\frac{ \partial^{2} F}{ \partial y^{2}}}{ \frac{ \partial^{2} F}{ \partial z^{2}}}}\)
Tego nie rozumiem jest to jakiś wzór ogólnyc czy tylko jakiś przypadek szczególny?
Na lekcji liczyliśmy tak:
\(\displaystyle{ z'=-\frac{ \frac{ \partial F}{ \partial x} }{ \frac{ \partial F}{ \partial y} }}\)

Bardzo proszę o pomoc i ukierunkowanie mnie.

[kerajs]

\(\displaystyle{ f(x,y)=z}\) //Pierwsze pytanie, co to tak właściwie oznacza?

,,z' jest funkcją zmiennych ,,x.y'

\(\displaystyle{ z^3-xyz+y^2=16}\)

I jest funkcją uwikłaną. Nie da się z tego równania jednoznacznie
wyliczyć ,,z'

Teraz szukam punktów podejrzanych? ( Na ćwiczeniach tego nie robiliśmy, w innych przykładach tak było, proszę o komentarz)

Tak. Warunek konieczny to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ \frac{ \partial z}{ \partial x}= \frac{-F' _{X} }{F' _{Z}} =0\\\frac{ \partial z}{ \partial y}=\frac{-F' _{Y} }{F' _{Z}} =0 \end{cases} \ \ \wedge \ F' _{Z} \neq 0}\)

Z tego układu otrzymuję punkt:
\(\displaystyle{ P _{0}(0, 0. \sqrt[3]{2 ^{4} })}\)
Sprawdzam czy \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial z}}\) w tym punkcie jest różny od zera - zgadza się.

Dobry jedyny punkt. Różność \(\displaystyle{ F' _{Z}}\) w tym punkcie sprawia że pochodne cząstkowe istnieją w tym punkcie. Funkcja jest w nim różniczkowalna.

W Krysickim znalazłem coś takiego:
\(\displaystyle{ \gamma=W(x,y,z)= \frac{ \frac{ (\partial F}{ \partial y \partial x})^{2}-\frac{ \partial^{2} F}{ \partial x^{2}}\frac{ \partial^{2} F}{ \partial y^{2}}}{ \frac{ \partial^{2} F}{ \partial z^{2}}}}\)
Tego nie rozumiem jest to jakiś wzór ogólnyc czy tylko jakiś przypadek szczególny?

To kryterium sprawdzające czy w Twoim punkcie jest ekstremum.
\(\displaystyle{ \gamma >0}\) brak ekstremum
\(\displaystyle{ \gamma =0}\) przypadek nierozstrzygający
\(\displaystyle{ \gamma <0}\) jest ekstremum, a wtedy jest maksimum gdy \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2z}{ \partial x^2}= \frac{-F'' _{XX}(P_0) }{F' _{Z}(P_0)}<0}\), a minimum gdy \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2z}{ \partial x^2}= \frac{-F'' _{XX}(P_0) }{F' _{Z}(P_0)}>0}\)
Pamiętaj, że ten wzór na drugą pochodną jest prawdziwy tylko przy zerowaniu się pierwszych pochodnych w warunku koniecznym.

Pełen wzór masz tu 406727.htm

[Sundaybadday]

A gdy drugie pochodne wynoszą 0? Mam jeszcze problem: w przytoczonych wzorach(link) F jest czym bo według tego co napisałeś wzory na drugą pochodną wynikają z zerowania się pierwszych pochodnych z war. koniecznego, w Krysickim jest napisane ,że te wzory wynikają z \(\displaystyle{ f ^{'} _{x}=0 f ^{'} _{y}=0}\) Mógłbyś mi to wyjaśnić?

[M Maciejewski]

Domyślam się, autorze wątku, że niezbyt rozumiesz, o co chodzi w tego typu zadaniach. Proponuję Ci więc życzliwie, byś się trochę pouczył. Na Youtubie można znaleźć sporo materiałów na ten temat, w tym dwa moje.

Można w polu wyszukiwarki YT wpisać takie hasła:
funkcje uwikłane
ekstrema funkcji uwikłanych
i obejrzeć sobie coś. To jest jak darmowe korepetycje.

[kerajs]

A gdy drugie pochodne wynoszą 0?

Mamy tu :
\(\displaystyle{ z'' _{xx}(f'' _{xx}),z'' _{xy}(f'' _{xy})=z'' _{yx}(f '' _{yx}),z'' _{yy}(f'' _{xx}),F''_{xx} , F''_{xy}=F''_{yx},F''_{yy},F''_{zz} , F''_{xz}=F''_{zx},F''_{yz}=F''_{yz}}\)
Musiałbyś uściślić które z nich i kiedy wynoszą zero.

Mam jeszcze problem: w przytoczonych wzorach(link) F jest czym bo według tego co napisałeś wzory na drugą pochodną wynikają z zerowania się pierwszych pochodnych z war. koniecznego, w Krysickim jest napisane ,że te wzory wynikają z \(\displaystyle{ f ^{'} _{x}=0 f ^{'} _{y}=0}\) Mógłbyś mi to wyjaśnić?

Tam masz \(\displaystyle{ z ^{'} _{x}, z ^{'} _{y}}\) co tu zapisujesz jako \(\displaystyle{ f ^{'} _{x}, f ^{'} _{y}}\)
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum wiesz że:
\(\displaystyle{ f' _{x} =\frac{ \partial f}{ \partial x}= \frac{-F' _{X}}{F' _{Z}}=0}\)
\(\displaystyle{ f' _{y} =\frac{ \partial f}{ \partial y}= \frac{-F' _{Y}}{F' _{Z}}=0}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ f''_{xx}=\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2}= \frac{F'' _{xx}+2F'' _{xz} \left( \frac{-F' _{x}}{F' _{z}}\right) +F'' _{zz} \left( \frac{-F' _{x}}{F' _{z}}\right)^2}{-F' _{z}}=\\=\frac{F'' _{xx}+2F'' _{xz} \cdot 0 +F'' _{zz}\cdot 0^2}{-F' _{z}}=\frac{-F'' _{xx}}{F' _{z}}}\)
zamiast
\(\displaystyle{ f'' _{xx}= \frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2}= \frac{-F'' _{XX}(F' _{Z})^2+2F'' _{XZ}F' _{X}F' _{Z}-F'' _{ZZ} (F' _{X})^2}{(F' _{Z})^3}}\)
Oczywiście wstawiając wartości do nieuproszczonego wzoru otrzyma się identyczny wynik.