Dane równanie \(\displaystyle{ c^2 \, \frac{\partial ^2}{\partial_{xx}}u-\frac{\partial ^2}{\partial_{tt}}u=0}\)
\(\displaystyle{ u(0,t)=u(l,t)=0}\) ,
\(\displaystyle{ \varphi(x)=u(x,0)=0}\) ,
\(\displaystyle{ \psi(x)=\frac{\partial}{\partial t}u(x,0)=v_0 \frac{x}{l}\left( 1-\frac{x}{l}\right)}\).
"Wiadomo" , że \(\displaystyle{ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n \cos(\frac{\pi n c t}{l}) + B_n \sin \frac{\pi n c t}{l} \right) \sin \frac{\pi n x}{l}}\), gdzie \(\displaystyle{ A_n=\frac{2}{l}\int_0^l \varphi(s) \cdot \ldots \textrm{d}s= 0}\) w naszym przypadku ,
a \(\displaystyle{ B_n=\frac{2}{n \pi c}\int_{0}^{l} \psi(s) \sin \frac{\pi n s}{l} \textrm{d}s}\)
Liczę \(\displaystyle{ B_n}\),
najpierw:
\(\displaystyle{ \int_0^l v_0 \frac{s}{l}\left( 1-\frac{s}{l}\right) \sin(\frac{\pi n s}{l})\textrm{d}s=}\) (dużo rachunków) \(\displaystyle{ =\frac{2 \, v_0 \, l}{(\pi n)^3}\left( 1- \cos(\pi n) \right)}\)
Wkleję potwierdzenie z Matematiki że wynik dobry: (\(\displaystyle{ sin(n \pi)\equiv 0}\))
- AU
- 24ys4ci.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 224 razy
Próbujemy wstawić do wzoru : \(\displaystyle{ u(x,t)=\frac{4l \, v_0}{c \pi^4} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-cos(\pi n)}{n^4} \sin \frac{\pi n c t}{l} \sin \frac{\pi n x}{l}}\)
Pytanie: czy ja to w ogóle dobrze próbuję robić? Czy nie widać gdzieś pomyłki?
Nigdy nie miałem RRCz , szukając metody rozwiązania korzystałem ze źródeł internetowych ; )
No i najważniejsze w sumie dla mnie - jeśli to jest ok, to czy da się tę sumę jakoś "zwinąć" do jawnej postaci? Jak?