Ekstremum funckji dwóch zmiennych

[Sundaybadday]

Proszę o pomoc w dokończeniu zadania:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(a\cosx+b\cosy) ^{2} +(a\sinx+b\siny) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}=-2ab\sin(x-y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}=2ab\sin(x-y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial x ^{2} }=-2ab\cos(x-y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial y ^{2} }=-2ab\cos(x-y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial x \partial y }=2ab\cos(x-y)}\)

Teraz muszę zapisać równania stacjonarne:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2ab\sin(x-y)=0 /:-2ab \Leftrightarrow a \neq 0 \wedge b \neq 0 \\-2ab\sin(x-y)=0 /:2ab \Leftrightarrow a \neq 0 \wedge b \neq 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(x-y)=0 \\ \sin(x-y)=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=k\pi \end{cases}}\)

Jak dalej sobie z tym radzić?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(a\cosx+b\cosy) ^{2} +(a\sinx+b\siny) ^{2}}\)

A co to za funkcja trzech zmiennych bez zmiennych?

[a4karo]

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(a\cosx+b\cosy) ^{2} +(a\sinx+b\siny) ^{2}}\)

A co to za funkcja trzech zmiennych bez zmiennych?

Stała. Takie też się zdarzają. Ale pochodne za policzone źle.

[kerajs]

Brak spacji w ,,sinx', ,,siny', ,,cosx', ,,cosy', daje efekt pozornej funkcji stałej. Naprawdę ta funkcja to:

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(a\cos x+b\cos y) ^{2} +(a\sin x+b\sin y) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ f(x,y)=a^2+b^2+2ab\cos (x-y)}\)
Już tu widać że: \(\displaystyle{ a^2+b^2-\left| 2ab\right| \le f(x,y) \le a^2+b^2+\left| 2ab\right|}\), a wartości skrajne osiągane są dla \(\displaystyle{ x-y=k \pi}\) .
W zależności od znaków ,,a,b' masz dwie skrajne wartości dla \(\displaystyle{ x-y=k 2\pi}\) i dla \(\displaystyle{ x-y=\pi+k 2\pi}\) . To płaszczyzna z równoległymi falami . Brak tu ekstremów.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}=-2ab\sin(x-y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}=2ab\sin(x-y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial x ^{2} }=-2ab\cos(x-y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial y ^{2} }=-2ab\cos(x-y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} f}{ \partial x \partial y }=2ab\cos(x-y)}\)
Teraz muszę zapisać równania stacjonarne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2ab\sin(x-y)=0 /:-2ab \Leftrightarrow a \neq 0 \wedge b \neq 0 \\-2ab\sin(x-y)=0 /:2ab \Leftrightarrow a \neq 0 \wedge b \neq 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(x-y)=0 \\ \sin(x-y)=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=k\pi \end{cases}}\)
Jak dalej sobie z tym radzić?

Twoje punkty podejrzane o ekstremum lezą na prostej na której funkcja ma taka samą wartość, w ich otoczeniu nie ma wyłącznie punktów o mniejszej/większej wartości. Wniosek: brak ekstremów.
Gdybyś tego nie zauważył to zerowy wyznacznik z drugich pochodnych zmusi Cię do powyższych rozważań.