rząd grupy i jej elementów

[snd0cff]

Jaki jest rząd grupy \(\displaystyle{ Z ^{*} _{52}}\)?
Oraz jej 4 wybranych elementów.
Jak obliczyć rząd nie wypisując jego elementów ręcznie?
Oraz jak wybrać elementy aby określić ich rząd?
Czy jest na to sprytny sposób? Przeglądnąłem trochę tematów ale nie znalazłem nic sensownego

[M Maciejewski]

Ile jest liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{0,1,2,\ldots,51\}}\), które są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ 52=2^2\cdot 13}\)?

[snd0cff]

jest 24 takich liczb, ale to nie zmienia faktu, że musiałem lecieć po nieparzystych liczbach z tego zbioru pomijając dzielniki 13.
Natomiast przy większej liczbie będzie to bardziej czasochłonne, czy nie ma szybszej metody?
a co to kwestii rzędów wybranych elementów, to po prostu zacząć od najmniejszych i mnożyć je przez siebie aż do uzyskania 1?

teraz mi wpadło do głowy takie coś, jak obliczyłem, że \(\displaystyle{ 3 ^{6}=1}\)
to wiem, ze \(\displaystyle{ 9 ^{3}}\) oraz \(\displaystyle{ 27 ^{2}}\) też jest równa 1 i już mam 3 elementy z rzędami kolejny 6,3 i 2

[M Maciejewski]

Liczbę liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n=p^i\cdot q^i}\) (\(\displaystyle{ p,q}\) -- liczby pierwsze) i mniejszych od \(\displaystyle{ n}\) możesz znaleźć tak: szukasz, ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ p}\) (jest ich \(\displaystyle{ n/p}\)), ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ q}\) (jest ich \(\displaystyle{ n/q}\)). Jeśli dodasz \(\displaystyle{ n/p+n/q}\), to będziesz musiał odjąć te, które dzielą się przez \(\displaystyle{ pq}\), a jest ich \(\displaystyle{ n/(pq)}\). Tak więc dochodzimy do wzoru:
\(\displaystyle{ \frac np+\frac nq-\frac n{pq}}\). Teraz liczb względnie pierwszych będzie \(\displaystyle{ n-(...)}\).
Podobnie dla liczby \(\displaystyle{ n=p^i\cdot q^i\cdot r^k}\).

[snd0cff]

dla potomnych:
\(\displaystyle{ \left| 52\right|= 52*(1- \frac{1}{2})*(1- \frac{1}{13} )=24}\)
\(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 13}\) to liczby z rozkładu \(\displaystyle{ 52}\)