Okręgi na wierzchołkach

[Ruahyin]

Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości x. Wierzchchołki tego trójkąta są środkami okręgów o promieniach \(\displaystyle{ \frac{x}{5}}\) . Wyznacz długość promienia okręgu stycznego do tych okręgów.

[kerajs]

Okrąg styczny zewnętrznie: \(\displaystyle{ r_1= \frac{3x}{10}}\)
Okrąg styczny wewnętrznie: \(\displaystyle{ r_2= \frac{7x}{10}}\)

Czy są też inne możliwe okręgi ?

[Ruahyin]

kerajs, skąd wzięły się te wartości?-- 16 maja 2016, o 18:30 --Czyżby przeciw prostokątna była średnicą?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (-2,-1.5)--(2,-1.5)--(2,1.5)--cycle;
\draw (-2,-1.5)circle(1);
\draw (2,-1.5)circle(1);
\draw (2,1.5)circle(1);
\draw[red] (0,0)circle(1.5);
\draw[red] (0,0)circle(3.5);
\end{tikzpicture}}\)

[andkom]

Czy są też inne możliwe okręgi ?

Są:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (-2,-1.5)--(2,-1.5)--(2,1.5)--cycle;
\draw (-2,-1.5)circle(1);
\draw (2,-1.5)circle(1);
\draw (2,1.5)circle(1);
\draw[red] (0,0)circle(1.5);
\draw[red] (0,0)circle(3.5);
\draw[red] (0,-2.06)circle(3.083);
\draw[red] (0,2.06)circle(3.083);
\draw[red] (1.325,0)circle(2.65);
\draw[red] (-1.325,0)circle(2.65);
\draw[red] (1,-1.35)circle(2);
\draw[red] (-2.82,-2.74)arc(-80:-20:8.64);
\end{tikzpicture}}\)
Jeden z okręgów (draw[red] (-4.33,5.77)circle(8.64);) nie mieści się cały (tikz nie chce go narysować, bo jest za duży), więc zaznaczyłem tylko łuk.

Łącznie jest osiem okręgów stycznych do tych z treści zadania. Podejrzewam jednak, że autor zadania miał małą wyobraźnię i chodziło mu tylko o ten okrąg, który jest styczny zewnętrznie do pozostałych, czyli ten o promieniu \(\displaystyle{ \frac{3x}{10}}\) (może też o ten o promieniu \(\displaystyle{ \frac{3x}{10}}\), ale to wątpliwe).

[kerajs]

Warto jeszcze dodać, że bez znajomości boków tego trójkąta nie sposób określić ani promieni dodatkowych okręgów, które był uprzejmy pokazać andkom, ani ich ilości (najwięcej może ich być sześć, a najmniej dwa, przy tej treści zadania).

[jacdiag]

bez znajomości boków tego trójkąta nie sposób określić

z jednym wyjątkiem : przyprostokątne są sobie równe

[kerajs]

z jednym wyjątkiem : przyprostokątne są sobie równe

To nie jest żaden wyjątek, ale wybór konkretnego trójkąta, jednego z nieskończenie wielu możliwych. Podobnie jak wybranie konkretnego trójkąta (spełniającego treść zadania) do grafiki pozwoliło na obliczenie położenia środków dodatkowych okręgów stycznych oraz ich promieni.

Inny wybór i inna ilość dodatkowych okręgów stycznych:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,-1)--(0,1)--(-4.5826,-1)--cycle;
\draw (0,-1)circle(1);
\draw (0,1)circle(1);
\draw (-4.5826,-1)circle(1);
\draw[red] (-2.2913,0)circle(1.5);
\draw[red] (-2.2913,0)circle(3.5);
\draw[blue] (0,-5.25)circle(5.25);
\draw[blue] (-1.1798,0)circle(2.5466);
\draw[blue] (-3.4027,0)circle(2.5466);
\end{tikzpicture}}\)

Edit:
W grafice andkoma trójkąt ma boki: \(\displaystyle{ x, \frac{3}{5}x, \frac{4}{5}x}\)
W grafice z tego postu trójkąt ma boki: \(\displaystyle{ x, \frac{2}{5}x, \frac{ \sqrt{21} }{5}x}\)

Niebieskie są okręgi których bez znajomości boków trójkąta nie sposób określić.

[Brombal]

A co się zmieni gdy jedna z przyprostokątnych \(\displaystyle{ \le}\) \(\displaystyle{ \frac{x}{5}}\) ?

[kerajs]

A co się zmieni gdy jedna z przyprostokątnych \(\displaystyle{ \le}\) \(\displaystyle{ \frac{x}{5}}\) ?

Gdy krótsza z przyprostokątnych jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{2}{5}x}\) to są tylko dwa dodatkowe (niebieskie) okręgi.

Taki przykładowy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ x, \frac{1}{5}x, \frac{2 \sqrt{6} }{5}x}\) :

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,-0.5)--(0,0.5)--(-4.899,-0.5)--cycle;
\draw (0,-0.5)circle(1);
\draw (0,0.5)circle(1);
\draw (-4.899,-0.5)circle(1);
\draw[red] (-2.4495,0)circle(1.5);
\draw[red] (-2.4495,0)circle(3.5);
\draw[blue] (-1.4248,0)circle(2.51);
\draw[blue] (-3.4742,0)circle(2.51);
\end{tikzpicture}}\)

[andkom]

To ja dopiszę jeszcze jedno bardzo fajne zadanie:

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi: a,b i c. Skonstruować (narysować używając tylko cyrkla i linijki) wszystkie okręgi styczne jednocześnie do a, b i c.