izomorfizm grup

[madlene]

Jak pokazać, że nie istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ \ZZ _{6} =\{0,1,2,3,4,5\}}\) (z dodawaniem modulo \(\displaystyle{ 6}\)) na \(\displaystyle{ S(3)}\), czyli grupę permutacji zbioru \(\displaystyle{ 3}\)-elementowego (z działaniem składania)?

[M Maciejewski]

Grupy izomorficzne mają dokładnie takie same własności. Te grupy mają inne własności. Na przykład:

• jedna jest cykliczna, druga nie
• rząd elementu \(\displaystyle{ \sigma=(1,2)(3)}\) wynosi 2, ponieważ \(\displaystyle{ \sigma\circ\sigma=\mathrm{id}}\), a takiego elementu nie ma grupa \(\displaystyle{ \mathbb Z_6}\).

Tego typu spostrzeżenia możesz użyć do dowodu braku izomorfizmu. Załóż nie wprost, że istnieje izomorfizm i dojdź do sprzeczności.