izomorfrizm grup

[madlene]

Jak udowodnić izomorficzność grupy \(\displaystyle{ \ZZ _{6}=\{0,1,2,3,4,5\}}\) (z dodawaniem modulo \(\displaystyle{ 6}\)) z grupą \(\displaystyle{ F(7)=\{1,2,3,4,5,6\}}\) (z mnożeniem modulo \(\displaystyle{ 7}\))?

Chodzi mi o sam wzór funkcji. \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) chyba nie może być?

[M Maciejewski]

Aby znaleźć izomorfizm, pamiętaj, że:

• element neutralny jest odwzorowywany na element neutralny.
• generatory muszą przejść na generatory (to grupy cykliczne).

Znajdź generator jednej (ozn. \(\displaystyle{ a}\)) oraz drugiej (ozn. \(\displaystyle{ b}\)), a następnie połóż \(\displaystyle{ F(a)=b}\). Wtedy wykorzystaj działanie grupowe w jednej grupie oraz w drugiej grupie, pamiętając, że izomorfizm jest homomorfizmem, więc zachowuje działania. Dzięki temu dostaniesz, że \(\displaystyle{ F(a^k)=b^k}\). W ten sposób znajdziesz wartości funkcji dla wszystkich argumentów. Możesz potem próbować znaleźć wzór funkcji, ale to nie jest potrzebne.