Rozważmy model rynku skończonego wolnego od arbitrażu \(\displaystyle{ (B,S)}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) oznacza rachunek bankowy a \(\displaystyle{ S}\) akcję. Dla dowolnej wypłaty \(\displaystyle{ X}\) definiujemy jej cenę kupującego: \(\displaystyle{ \Pi^b_0(X)=\sup \left\{ V_0(\varphi) : V_T(\varphi) \le X \right\}}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \Pi^b_0(X)=\inf_{\mathbb{P} \in \mathcal{P(M)}} \mathbb{E}_{\mathbb{P}} \left( \frac{X}{B_T} \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{P(M)}}\) oznacza zbiór wszystkich miar martyngałowych a \(\displaystyle{ V_t(\varphi)}\) to proces ceny strategii samofinansującej \(\displaystyle{ \varphi}\).
Łatwo jest pokazać jedną nierówność: ustalmy dowolną miarę martyngałową \(\displaystyle{ \mathbb{P} \in \mathcal{P(M)}}\),
\(\displaystyle{ \Pi^b_0(X)=\sup \left\{ V_0(\varphi) : V_T(\varphi) \le X \right\}=\sup \left\{ \mathbb{E}_{\mathbb{P}} \left( \frac{V_T(\varphi)}{B_T} \right) : \frac{V_T(\varphi)}{B_T} \le \frac{X}{B_T} \right\} \le \mathbb{E}_{\mathbb{P}} \left( \frac{X}{B_T} \right)}\)
i lewa strona nie zależy od \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\), skąd dostajemy \(\displaystyle{ \Pi^b_0(X) \le \inf_{\mathbb{P} \in \mathcal{P(M)}} \mathbb{E}_{\mathbb{P}} \left( \frac{X}{B_T} \right)}\).
Zupełnie nie wiem jak pokazać drugą nierówność. Ktoś pomoże?