Matura z matematyki 2016 - poziom rozszerzony

[DuDiiC]

przekształciłem \(\displaystyle{ x+y \le 2}\) do postaci \(\displaystyle{ xy \le 1}\).

A napisałeś, że przekształcasz równoważnie? Bo przekształcanie tezy bez tej uwagi jest ryzykowne.

JK

Tak, napisałem, ze obie strony dodatnie, czyli mogę podnieść do kwadratu, rozbilem wzorskroconego mnożenia i przeksztalcilem. Bardziej się martwie o to co napisałem w zadaniu z wyznaczeniem C i D czworokąta, bo robiłem to tak ja szybko i chaotycznie, że mogłem coś ważnego pominąć. Wynik mi wyszedł dobry, ale powodzenia dla kogoś, kto to sprawdza :p
Ale matura była naprawdę trudniejsza niż zeszloroczna, przede wszystkim była CALKOWICIE inna. Nie było żadnych zadań porównywalnych, dotyczyła kompletnie innych zagadnień. Łatwo było uzyskać 20% (pierwsze 6 zadań + prawdopodobieństwo z podanym wynikiem robiło się szybko i przyjemnie), ale wyzej to się trzeba było namęczyć. Moim zdaniem nawet parametr nie był taki typowy, bo była wartość bezwzględna, podnoszenie nierówności stronami do kwadratu, wszystkie założenia, które należało podać... No ale na moje szczęście liczby były przyjemne, nie tak jak w zeszlorocznej, dzieki czemu nie poleglem na liczeniu, co mi się często zdarzało. Ogólnie to nie ruszylem zadania na dowód z okręgami i nie zdazylem dokończyć zadania 10, byłem juz prawie przy koncowce, gdy usłyszałem, żeby odkładać długopis
Ale progi zdecydowanie spadną, szczególnie tam, gdzie się tylko (albo głównie) matma liczy.

[Terabajt]

Premislav Potwierdzam że jest przereklamowane, ale akurat do matematyki nie mam zastrzeżeń. Nie byłem jakimś wybitnym uczniem matmy, ale na >80% liczyłem i matury z poprzednich lat pisalem na >90%. Matury z zadań info zrobilem wszystkie i z ostatnich 3 mam średni wynik koło 70%, a są one dużo trudniejsze niż normalne. Zrobiłem rozeznanie w Słowackim i BAtorym i na prawdę dobrze to nie wygląda. Ze Słowackiego 2 ludzi czwórkowych mówią że jak bedzie 40% to bedzie dobrze. Dowodu geometrycznego to prawie nikt nie zrobił, są ludzie którym poszło w miarę dobrze ale to zdecydowana mniejszość. Wszyscy podzielają moje zdanie, że poprzednie matury przy tej to były jak podstawa. Obliczenia może trudne, ale były BARDZO SCHEMATYCZNE i każdy wiedział co trzeba było robić.

[mint18]

Jeszcze mam pytanie do analitycznej. Było podane, że \(\displaystyle{ AC}\) jest jedyną osią symetrii, sprawdzaliście w takim razie czy otrzymane współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) spełniają ten warunek?

[Premislav]

Obliczenia może trudne, ale były BARDZO SCHEMATYCZNE i każdy wiedział co trzeba było robić.

Gdyby tak było, to średnie wyniki matur by tak nie wyglądały.
No ale nie ma co się za bardzo przejmować, na tym forum udzielają się w dużej części ludzie, którzy lubią matmę, byli świetnie przygotowani, więc to może trochę zaburzać obraz. Tylko warto uświadomić sobie, czego zabrakło i co można by lepiej przyswoić.

Straznik Teksasu, a ja lubię nierówności (choć nie umiem), natomiast uważam, że pomysł z okręgiem (chyba Alad robił podobnie) jest świetny. Cztery dowody algebraiczne:

Ukryta treść:    

Z nierówności Cauchy'ego-Schwarza mamy \(\displaystyle{ 4=(1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2}) \ge (1 \cdot x+1 \cdot y)^{2}}\), ponieważ \(\displaystyle{ x+y>0}\), to po spierwiastkowaniu stronami dostajemy
\(\displaystyle{ 2 \ge x+y}\), czyli tezę.

Ukryta treść:    

Zauważmy, że skoro \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2}\), to \(\displaystyle{ \max\left\{ x,y\right\} \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ \min\left\{ x,y\right\} \le 1}\). Zatem zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ (x-1)(y-1) \le 0}\), a równoważnie \(\displaystyle{ xy+1 \le x+y}\). Mnożąc tę nierówność stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i korzystając z \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2}\), mamy \(\displaystyle{ (x+y)^{2} \le 2(x+y)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ y>0}\), to \(\displaystyle{ x+y >0}\) i dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x+y}\), co kończy dowód.

Ukryta treść:    

Oczywiście mamy \(\displaystyle{ x+y \le 2 \Leftrightarrow x+y-2 \le 0}\). Z założenia \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2}\), więc innymi słowy tezę mozna zapisać jako \(\displaystyle{ x+y-x^{2}-y^{2} \le 0}\), czyli \(\displaystyle{ x(1-x)+y(1-y) \le 0}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ (a-b)^{2} \ge 0 \Leftrightarrow \left( \frac{a+b}{2}\right)^{2} \ge ab}\), zatem korzystając dwukrotnie z tej nierówności: najpierw dla liczb \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ 1-x}\), a następnie dla liczb \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ 1-y}\), mamy \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1-x}{2} \right)^{2} \ge x(1-x)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{y+1-y}{2} \right)^{2} \ge y(1-y)}\). Dodając te dwie nierówności stronami, dostajemy \(\displaystyle{ 0 \ge x(1-x)+y(1-y)}\), a to jest równoważne tezie.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2(x+y)=(x^{2}+y^{2})(x+y) \ge \frac{\left( {x+y} \right)^{2}}{2}(x+y)= \frac{(x+y)^{3}}{2}}\), a stąd \(\displaystyle{ (x+y)^{2} \le 4}\)
Nierówność \(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})(x+y) \ge \frac{\left( {x+y} \right)^{2}}{2}(x+y)}\) jest równoważna takiej: \(\displaystyle{ (x+y)(x-y)^{2} \ge 0}\), która jest prawdziwa, bo \(\displaystyle{ x>0 \wedge y>0}\), a ponadto kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Ale najszybsza (obok Schwarza) jest kwadratowa-arytmetyczna. A stereometrii nie pamiętam.-- 10 maja 2016, o 10:18 --O, jeszcze inaczej:

Ukryta treść:    

z nierówności Bernoulliego mamy
\(\displaystyle{ 2=x^{2}+y^{2}=(1+x-1)^{2}+(1+y-1)^{2} \ge 1+2(x-1)+1+2(y-1)}\), przenosząc, dostajemy \(\displaystyle{ 4 \ge 2x+2y}\). Założenia nierówności Bernoulliego są spełnione, bo \(\displaystyle{ 2>1}\) oraz \(\displaystyle{ x,y}\) są dodatnie, więc \(\displaystyle{ x-1>-1}\) i \(\displaystyle{ y-1>-1}\)

[Peterek_w]

Ja, niestety, na pomysł okręgu wpadłem jakieś 5 minut przed czasem i na szybko tylko napisałem i narysowałem, zapomniałem pokazać, że odległość od środka okręgu do tej prostej to rzeczywiście pierwiastek z dwóch Ale może coś za to dostanę, kto wie.
Za to, uwaga, zadanie z ostrosłupem mi się bardzo podobało Może dlatego, że w Kiełbasie było ciurkiem chyba z 10 zadań na kąt między ścianami, przez co nie dało się zapomnieć sposobu rozwiązywania. I pod tym względem uważam, że to zadanie było nieco schematyczne - rok temu przecież też był kąt między ścianami

[vicossess]

Ja jeszcze spytam o zadanie 12 - to z funkcją kwadratową i parametrem m.
Jak sądzicie, ile punktów będą odejmować za głupie niedoczytanie i pominięcie warunku \(\displaystyle{ x_1x_2 = 6m+1>0}\)? Myślałem, że to zadanie było na 4 punkty i odejmą mi co najwyżej 1, a dzisiaj doczytałem, że było aż na 6 punktów i boję się, że mogę nawet 2 punkty urwać.
Rozpatrzyłem tylko przypadki, gdy \(\displaystyle{ \Delta >0}\) i warunek podany w zadaniu, wyszedł mi przedział \(\displaystyle{ (-\frac{1}{2};0) \cup (4, \frac{9}{2})}\)

[Milczek]

Ja jeszcze spytam o zadanie 12 - to z funkcją kwadratową i parametrem m.
Jak sądzicie, ile punktów będą odejmować za głupie niedoczytanie i pominięcie warunku \(\displaystyle{ x_1x_2 = 6m+1>0}\)? Myślałem, że to zadanie było na 4 punkty i odejmą mi co najwyżej 1, a dzisiaj doczytałem, że było aż na 6 punktów i boję się, że mogę nawet 2 punkty urwać.
Rozpatrzyłem tylko przypadki, gdy \(\displaystyle{ \Delta >0}\) i warunek podany w zadaniu, wyszedł mi przedział \(\displaystyle{ (-\frac{1}{2};0) \cup (4, \frac{9}{2})}\)

Albo dwa punkty za pominięcie warunku
albo nawet trzy za pominięcie warunku oraz podanie błędnej odpowiedzi( często w kluczach jest punktowana poprawna odpowiedź), ale myślę że dwa.

[Zahion]

Raczej mniej niż \(\displaystyle{ 2}\) nie stracisz. Nie liczyłbym na utratę jednego punktu, brak warunku, brak rozwiążania warunku, inna odpowiedz. Wydaje mi się, że co najmniej 2.

[AndrzejK]

Ponawiam swoje pytanie, bo zginęło w gąszczu postów

Wiecie może (pewnie Pan Jan Kraszewski wie) ile zabiorą punktów za złe rozwiązanie warunku: \(\displaystyle{ |x_1-x_2|<3}\) w dwunastym?
Dobrze przekształciłem, podstawiłem ze wzorów Viete'a i wyszła mi nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{4m^2-16m}<3}\), a później obustronnie podniosłem do drugiej potęgi i zamiast \(\displaystyle{ 4m^2-16m<9}\) (przy czym lewa strona musi być nieujemna) napisałem \(\displaystyle{ |4m^2-16m|<9}\) i to rozwiązałem? Doprowadziłem zadanie do końca z tym błędem.

[Artut97]

Ja też ponowię pytanie.

Ile zabierają punktów za popełnienie błędu rachunkowego, jeśli sposób rozumowania był poprawny?
W 12 zapisałem wszystkie warunki, tylko przy jednym z warunków wyszło mi \(\displaystyle{ \left( 0;4\right)}\) zamiast \(\displaystyle{ \left( - \infty ;0\right) \cup \left( 4; \infty \right)}\). W 15 natomiast pod \(\displaystyle{ \cos120^{o}}\) podstawiłem \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\). W 16 pole w zależności od \(\displaystyle{ x}\) wyszło mi poprawne, lecz mam gdzieś błąd przy liczeniu ekstremum zamiast \(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}}\) wyszedł mi \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}}\).

Mówicie, że więcej niż \(\displaystyle{ 2}\) punkty nie zabiorą przy każdym zadaniu?

[Krzychu12321]

Jeszcze mam pytanie do analitycznej. Było podane, że \(\displaystyle{ AC}\) jest jedyną osią symetrii, sprawdzaliście w takim razie czy otrzymane współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) spełniają ten warunek?

Kurde, zapomniałem o tym. Myślicie, że mogą za to zabrać punkt?

[Jan Kraszewski]

Raczej mniej niż \(\displaystyle{ 2}\) nie stracisz. Nie liczyłbym na utratę jednego punktu, brak warunku, brak rozwiążania warunku, inna odpowiedz. Wydaje mi się, że co najmniej 2.

Niekoniecznie. Zadania z parametrem ostatnio miały klucze punktujące osobno każdy warunek. Ja bym stawiał na taki klucz: 2 pkt za warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\), 1 pkt za warunek \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2>0}\), 2 pkt za warunek \(\displaystyle{ |x_1- x_2|<3}\) i 1 pkt za zebranie tego do kupy. Może się więc zdarzyć jeden punkt mniej za ominięcie tego warunku. Ale równie dobrze mogą obciąć więcej.

W 12 zapisałem wszystkie warunki, tylko przy jednym z warunków wyszło mi \(\displaystyle{ \left( 0;4\right)}\) zamiast \(\displaystyle{ \left( - \infty ;0\right) \cup \left( 4; \infty \right)}\).

Wg mnie minimum dwa.

W 15 natomiast pod \(\displaystyle{ \cos120^{o}}\) podstawiłem \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).

Tutaj pewnie jeden punkt.

W 16 pole w zależności od \(\displaystyle{ x}\) wyszło mi poprawne, lecz mam gdzieś błąd przy liczeniu ekstremum zamiast \(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}}\) wyszedł mi \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}}\).

Tu trudno mi stwierdzić.

Dobrze przekształciłem, podstawiłem ze wzorów Viete'a i wyszła mi nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{4m^2-16m}<3}\), a później obustronnie podniosłem do drugiej potęgi i zamiast \(\displaystyle{ 4m^2-16m<9}\) (przy czym lewa strona musi być nieujemna) napisałem \(\displaystyle{ |4m^2-16m|<9}\) i to rozwiązałem? Doprowadziłem zadanie do końca z tym błędem.

W wersji optymistycznej \(\displaystyle{ -1}\), ale może też być \(\displaystyle{ -2}\).

Oczywiście wszystkie powyższe to tylko moje prywatne gdybania.

JK

[Straznik Teksasu]

Jak już wspominałem wcześniej zad.9 można by zrobić metodą analityczną. Spróbowałem je tak zrobić, ale coś mi nie wychodzi:-(

Ukryta treść:    

Teza: \(\displaystyle{ |MN|=|AD|}\)

Dowód: W układzie współrzędnych układ może być określony tak:

\(\displaystyle{ A(0,0), B(k,0), C(k,m), D(0.m), S(s,s), N( x_{n}, y _{n})}\)

prosta \(\displaystyle{ DB:}\) \(\displaystyle{ y=- \frac{m}{k} x+m}\)

Aby jednoznacznie opisać układ wystarczą 2 zmienne: \(\displaystyle{ k,m}\)

\(\displaystyle{ |AD|=m}\) oraz \(\displaystyle{ |MN|= x_{n}}\)

Odległość punktu \(\displaystyle{ S(s,s)}\) od prostej \(\displaystyle{ \frac{m}{k}x+y-m=0}\) jest równa \(\displaystyle{ s}\), czyli promieniowi okręgu. Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{| \frac{m}{k}s+s-m |}{ \sqrt{ \frac{m^{2}}{k^{2}}+1 } } =s}\)

Obliczając to względem \(\displaystyle{ s}\) otrzymujemy równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ 2s^{2}-2(m+k)s+km=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4(k^{2}+m^{2})>0}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt{\Detla} =2 \sqrt{k^{2}+m^{2}}}\)

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

\(\displaystyle{ s _{1}= \frac{1}{2}\left[ (k+m)-\sqrt{k^{2}+m^{2}}\right]}\)

\(\displaystyle{ s _{1}= \frac{1}{2}\left[ (k+m)+\sqrt{k^{2}+m^{2}}\right]}\)

W zadaniu łatwo się wywnioskować, że \(\displaystyle{ |MN|}\), jest równoległe do osi \(\displaystyle{ OX}\), więc \(\displaystyle{ y_{n}=s}\)

Punkt \(\displaystyle{ N}\) należy do prostej \(\displaystyle{ BD}\), więc podstawiając \(\displaystyle{ y=s}\)do wzoru na prostą \(\displaystyle{ |BD|}\) otrzymamy wartość \(\displaystyle{ x=x_{n}}\), co jest równe długości odcinka \(\displaystyle{ |MN|}\).

Niestety wyniki mi wychodzą ohydne typu:

\(\displaystyle{ |MN|= - \frac{k}{2m}\left[ (k-m)-\sqrt{k^{2}+m^{2}}\right]}\)

Co jest różne od \(\displaystyle{ m}\) (udowodniłem to przyrównując \(\displaystyle{ m=|MN|}\), co doprowadziło mnie do sprzeczności)

Może to kwestia błędu w rachunkach albo błędnego rozumienia ?

[nebhe]

U mnie w szkole nikt nie zrobił dowodu, ale rozwiązanie jak się już zobaczyło to jednak proste, jedynie dwa trójkąty trzeba zauważyć. Ogólnie ludzie narzekają na maturę, osobiście myślę że za dowód bo tam trochę rzeczy porobiłęm i na kątach się pobawiłęm to z punkt dostanę i wierzchołka C nie wyznaczyłem w analitycznej więc liczę na wynik ok 90%

[Krzychu12321]

Ponawiam pytanie, może Pan Kraszewski będzie wiedział.
Czy w analitycznej za niesprawdzenie, że AC jest jedyną osią symetrii będą cięte punkty?