[Rozgrzewka przed maturą] Zadania różne

[mint18]

wielkireturner, No tak ładniej niż ja, bo ja :

Ukryta treść:    

Szukałem czegoś co jest związane i znalazłem tożsamość dla \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\), które są kątami pewnego trójkąta: \(\displaystyle{ \cos\alpha + \cos\beta+\cos\gamma = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}\) z której mamy \(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} = \frac{\cos\alpha + \cos\beta+\cos\gamma-1}{4}}\) dalej z nierówności Jensena dla funkcji \(\displaystyle{ \cos x}\) która jest w tym przypadku wklęsła: \(\displaystyle{ \frac{\cos\alpha + \cos\beta+\cos\gamma-1}{4} \le \frac{3\cos \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}-1 }{4}= \frac{1}{8}}\), ale nie potrafię udowodnić nawet tej tożsamości

.

Rozwiązania ukrywamy i piszemy coś więcej niż sam wynik. Następne zad Twoje.

[wielkireturner]

Coś prostego.
Moneta o średnicy \(\displaystyle{ 1cm}\) zostaje rzucona na stół pokryty w kratkę, odległość między najbliższymi dwoma równoległymi liniami (i w poziomie, i w pionie) jest równa \(\displaystyle{ 2 cm}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje w kwadracie tak, że nie dotknie żadnych linii?

[a4karo]

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są kątami pewnego trójkąta, to zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\leq\frac{1}{8}}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \ln\sin x}\) jest wklęsła.

-- 8 maja 2016, o 13:31 --

Coś prostego.
Moneta o średnicy \(\displaystyle{ 1cm}\) zostaje rzucona na stół pokryty w kratkę, odległość między najbliższymi dwoma równoległymi liniami (i w poziomie, i w pionie) jest równa \(\displaystyle{ 2 cm}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje w kwadracie tak, że nie dotknie żadnych linii?

Ukryta treść:    

Ćwiarteczka
Środek monety musi wpaść do środkowego kwadratu o boku \(\displaystyle{ 1}\)

[kerajs]

Coś do pracochłonnego liczenia:
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt egipski (3,4,5), a pozostałe krawędzie mają długość 5. Ile wynosi kąt miedzy mniejszymi ścianami bocznymi?
Edit:
A ile wynosi kąt miedzy dowolnymi ścianami tego czworościanu?

Inne, mniej pracochłonne, ale mało maturalne:
\(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{y}= \sqrt{2016} \ \ \wedge \ \ x,y \in \NN}\)

[wielkireturner]

A czy to mało maturalne jest podchwytliwe czy też proste?

[dec1]

\(\displaystyle{ x=0 \\
y=2016}\)

[Zahion]

Wpadło mi do głowy jakimś dziwnym trafem, może pojawi się na maturze ! :
\(\displaystyle{ CD}\) symetralną boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ |AC|^{2} + |BC|^{2} = 4|CD|^{2}}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ ACB}\). ( na zamkniętym, przez prostote XD )

[mint18]

Ukryta treść:    

Liczone ekspresowo, wyjdzie \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\)?

Nie dziwie się, że już jest mało odpowiedzi, bo raczej ci co mają maturę już nei mają czasu przepisywać rozwiązań... jeszcze kilka godzin :p

[AndrzejK]

Wpadło mi do głowy jakimś dziwnym trafem, może pojawi się na maturze ! :
\(\displaystyle{ CD}\) symetralną boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ |AC|^{2} + |BC|^{2} = 4|CD|^{2}}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ ACB}\).

to chyba bardziej na podstawę

[mint18]

Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ A(0, -1)}\), który jest jednocześnie styczny do prostych o równaniach \(\displaystyle{ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ 4x-3y+22=0}\).

Wystarczy opisać samo postępowanie i podać to równanie.

[Chewbacca97]

Albo coś takiego:
Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) tego trójkąta w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Oznaczmy długości odcinków \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ DC}\) odpowiednio \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ d}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ d< \frac{2ab}{a+b}}\) .

[AndrzejK]

analityczna:    

Niech \(\displaystyle{ S(x,y)}\) będzie środkiem okręgu. Wówczas odległość tego punktu od obu prostych i punktu jest taka sama i równa promieniowi.

Oznaczmy \(\displaystyle{ d_1}\) jak odległość \(\displaystyle{ S}\) od prostej \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ d_2}\) jako odległość \(\displaystyle{ S}\) od drugiej prostej
\(\displaystyle{ |SA|=\sqrt{x^2+(y+1)^2}}\)
\(\displaystyle{ d_1=|y|}\)
Zgodnie z tym co napisaliśmy na początku \(\displaystyle{ d_1=|SA|}\), skąd \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}}\)

Teraz wystarczy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ d_2=|SA|}\), tj:

\(\displaystyle{ \frac{|4x+(-3) \cdot (-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2})+22|}{5}=\sqrt{x^2+(-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}+1)^2}}\)
Po rozwiązaniu tego potwora dostajemy \(\displaystyle{ x_1=-3 \vee x_2=7}\). Pierwsze odpada (nie ma wówczas punktów wspólnych z prostą \(\displaystyle{ 4x-3y+22=0}\)), stąd \(\displaystyle{ y_2=-25, r_2=25}\).

Zatem równanie okręgu:
\(\displaystyle{ (x-7)^2+(y+25)^2=625}\)

[Zahion]

Chewbacca97,

Ukryta treść:    

Porównując pola ( liczymy ze wzorów dla \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) i przyrównujemy do pól, które powstały poprzez podzielenie trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczną, na dwa trójkąty o kącie \(\displaystyle{ \alpha}\). Mamy stąd po obliczeniach \(\displaystyle{ d = \frac{2ab \cos \alpha }{a+b} < \frac{2ab}{a+b}}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to nasz kąt, który jest "dwusieczniony", więc zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0 ; 90\right)}\)

[kerajs]

A czy to mało maturalne jest podchwytliwe czy też proste?

Oczywiście że też proste. I ma także inne rozwiązania niż para \(\displaystyle{ (0;2016)}\) którą podał dec1.




A maturzystom życzę jak najlepszych wyników na dzisiejszym rozszerzeniu,



.

[Chewbacca97]

kerajs,

Ukryta treść:    

Mam nadzieję, że wszystkie:
\(\displaystyle{ \left( x;y\right) \in \left\{ \left( 14; 1694\right), \left( 56;1400\right), \left( 126;1134\right), \left( 224;896\right), \left( 350;686\right), \left( 504;504\right) \right\}}\)

edit. Nie rozumiem dlaczego wszystkie nie chcą dać się zapisać - błąd w formule, którego nie potrafię naprawić...
No, ale oczywiście jak para \(\displaystyle{ \left( 14;1694\right)}\) spełnia równanie, to para \(\displaystyle{ \left( 1694;14\right)}\) również to równanie spełnia.