Pokazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ c _{0}=\left\{ \left( a_1,a_2,...,\right): \lim_{ n\to \infty } a_n=0 \right\}}\) ciągów zbieżnych do zera z metryką \(\displaystyle{ d(a,b)=sup\left| a_j-b_j\right|}\) \(\displaystyle{ a=\left( a_1,a_2...\right)}\), \(\displaystyle{ b=\left( b_1,b_2...\right)}\) jest przestrzenią zupełną.
Wiem, że podobne zadania były już na forum. Wiem też, że aby przestrzeń była zupełna należy pokazać, że dowolny ciąg Cauchy'ego ma granicę oraz, że ciągi Cauchy'ego, to te ciągi które mają granicę zbieżną do 0. Sądze, że trzeba zastosować warunek: \(\displaystyle{ \forall_{\epsilon>0} \exists_{N \in N}\forall_{n,m>N} d(a_m,a_n) < \epsilon}\).
I to tyle chyba z mojej wiedzy w tym temacie, dlatego proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Pokazać, że przestrzeń z metryką jest zupełna
-
marlena1795
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 27 cze 2015, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Pokazać, że przestrzeń z metryką jest zupełna
Szkic:
1. Bierzemy dowolny ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ (a_{n})_{n \in \NN}}\) elementów \(\displaystyle{ c_{0}}\) (te elementy to, rzecz jasna, ciągi zbieżne do zera)
Wtedy dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) ciąg \(\displaystyle{ (a^{(k)}_{n})_{n \in \NN}}\) jest ciągiem Cauchy'ego liczb rzeczywistych/zespolonych, a zatem jest zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ a^{(k)}}\).
2. Niech \(\displaystyle{ a=(a^{(k)})_{k \in \NN}}\). Pokazujemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sup_{k}\left| a^{(k)}-a_{n}^{(k)}\right|=0}\) - stąd \(\displaystyle{ a}\) jest granicą ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})_{n \in \NN}}\)
3.\(\displaystyle{ \left| a^{(k)}\right| \le \left| a^{(k)}-a^{(k)}_{n}\right| +\left| a^{(k)}_{n}\right|}\)
1. Bierzemy dowolny ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ (a_{n})_{n \in \NN}}\) elementów \(\displaystyle{ c_{0}}\) (te elementy to, rzecz jasna, ciągi zbieżne do zera)
Wtedy dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) ciąg \(\displaystyle{ (a^{(k)}_{n})_{n \in \NN}}\) jest ciągiem Cauchy'ego liczb rzeczywistych/zespolonych, a zatem jest zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ a^{(k)}}\).
2. Niech \(\displaystyle{ a=(a^{(k)})_{k \in \NN}}\). Pokazujemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sup_{k}\left| a^{(k)}-a_{n}^{(k)}\right|=0}\) - stąd \(\displaystyle{ a}\) jest granicą ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})_{n \in \NN}}\)
3.\(\displaystyle{ \left| a^{(k)}\right| \le \left| a^{(k)}-a^{(k)}_{n}\right| +\left| a^{(k)}_{n}\right|}\)