Algebry i sigma-algebry

[peterson1]

Cześć,

Mam dwa takie zadania.

1. Podać przykład pierścienia zbiorów, który nie jest algebrą.
2. Podać przykład algebry zbiorów, która nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\) algebrą.

1. Tutaj sobie poradziłem i wystarczy po prostu wziąć \(\displaystyle{ X = \left\{ a, b \right\}}\) i \(\displaystyle{ m = \left\{ a\right\}}\). Wtedy dostaniemy, że \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\} \notin m}\).

Nie mam pomysłu na drugie...

[Dualny91]

2. Rozważ \(\displaystyle{ \{A \subset \mathbb{N} \colon A - \text{skończony lub } \mathbb{N} \setminus A - \text{skończony}\}}\) jako algebrę, lecz nie \(\displaystyle{ \sigma-}\)algebrę podzbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\).

[peterson1]

Chodzi o to, że warunek z sumą w sigma algebrze nie będzie spełniony bo będziemy tam mieli sumę nieskończoną?

[Jan Kraszewski]

No tak, ale co z tego wynika? Masz pokazać, że ta rodzina nie jest zamknięta na przeliczalne sumy, czyli masz wskazać przeliczalną rodzinę zbiorów z tej algebry, której suma nie należy do algebry.

JK

[peterson1]

Hmm, nie mam pojęcia w jaki sposób to wskazać...

[Dualny91]

Tłumacząc to dokładniej, wystarczy wskazać przeliczalną rodzinę rozłącznych skończonych zbiorów, których suma omija nieskończenie wiele liczb naturalnych.
Podpowiedź: wystarczy rozważyć jednoelementowe zbiory.-- 18 paź 2015, o 13:38 --Więc pytanie pomocnicze : czy potrafisz podać dwa nieskończone rozłączne podzbiory zbioru liczb naturalnych, sumujące się do \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)?

[boski_login]

Chciałabym restartować ten temat i upewnić się, czy dobrze myślę.

Zadana wyżej rodzina:
\(\displaystyle{ \{A \subset \mathbb{N} \colon A - \text{skończony lub } \mathbb{N} \setminus A - \text{skończony}\}}\)

Spełnia na pewno pierwsze dwa warunki bycia sigma-algebrą ( ponieważ jest po prostu algebrą):
(i) do rodziny należy zbiór pusty, ponieważ jest skończony.
(ii) do algebry należą zbiory \(\displaystyle{ A, A'}\) dla każdego \(\displaystyle{ A.}\)

Aby ostatecznie przekonać się, że tak zadana algebra nie jest sigma-algebrą wystarczy wziąć ciąg zbiorów jednoelementowych zadany w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \forall (n \in \NN)}\) \(\displaystyle{ A _{n}=2n}\)

Czy takie rozumowanie jest wystarczające ?

Zatem ze zbioru liczb naturalnych wyciągamy tylko te parzyste.
Zbiór liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, a co za tym idzie jest nieskończony.

Suma \(\displaystyle{ \bigcup A _{n}}\) jest zbiorem nieskończonym, który nie należy do algebry, ponieważ:

\(\displaystyle{ \NN - \bigcup A _{n} = zbior \ liczb \ nieparzystych - zbior \ nieskonczony}\)

[Premislav]

Masz trochę słaby zapis, bo elementami tej rodzinynie są liczby, lecz zbiory. Już prędzej
\(\displaystyle{ A_{n}=\left\{ 2n\right\} \text{ dla } n=1,2}\)...
ale rozumowanie jest poprawne.

[Dualny91]

Powinno być:
(ii) do algebry należy zbiór \(\displaystyle{ A'}\) dla każdego \(\displaystyle{ A}\) należącego do tej algebry;
...
\(\displaystyle{ A_n:=\{2n\}}\)

Jest ok.

[boski_login]

Dziękuję, tak powinny być zbiory