Jak wyznaczyć kąt po przecinku, np. sin 22,5 stopnia?

[Michael2318]

Przygotowuję się do matury z matematyki. Natrafiłem już na dwa zadania, w których mam wyznaczoną długość jednego boku z trzech oraz mam podane wszystkie trzy miary kątów - \(\displaystyle{ 90; 67,5; 22,5}\).
Wszystko super, tylko jak wyznaczyć wartość kąta, który ma stopnie podane w ułamkach (liczbach po przecinku)?

Chciałbym, aby ktoś wytłumaczył mi to, bazując na wzorach, które dostępne są dla maturzystów podczas egzaminu: ... tyczne.pdf

Znalazłem mnóstwo wątków w google (chyba nawet z tego forum), ale tam ludzie używają takich wzorów, że kompletnie nie wiem skąd co się wzięło.

Dzięki.

[a4karo]

Wsk: \(\displaystyle{ 22.5=45/2}\)

[Michael2318]

Czyli biorąc pod uwagę, że sinus z 45 stopni wynosi: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\), ja muszę dodatkowo podzielić tą liczbę przez 2, czyli tak naprawdę pomnożyć przez odwrotność: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} \ast \frac{1}{2}}\), co w rezultacie da mi: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4}}\) i to jest mój wynik ??

[dec1]

No nie, tak nie można zrobić. Użyj wzoru na sinus połowy kąta.

[Michael2318]

Czyli ta wskazówka w sumie nic mi nie dała bo mówisz, że tak zrobić nie można :/
Znalazłem w internecie jakiś wzór, szukając pod hasłem: "Wzór na sinus połowy kąta". Znalazłem coś takiego:

\(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}}\)

I teraz moje pytanie - jakim sposobem ktoś to stworzył (o ile ten wzór miałeś na myśli)??

[dec1]

To ten wzór. Ile to jest \(\displaystyle{ \cos 45^{\circ}}\)?

Wzór ten można wyprowadzić np. za pomocą wzoru na cosinus podwojonego kąta.

[Michael2318]

cos z 45 stopni: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Pytanie moje jeszcze odnośnie tego wzoru - skąd tam się wziął cos x pod pierwiastkiem, jak ten wzór (na cos podwójnego kąta) w podstawowej wersji w ogóle nie ma w sobie x. Z niewiadomych jest tam tylko alfa?

[dec1]

Bo to błąd jakiś, tam ma być \(\displaystyle{ \alpha}\) oczywiście zamiast \(\displaystyle{ x}\).

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \sin \left( \frac{\alpha}{2} \cdot 2 \right)}\) . Doprowadzamy do sytuacji, że możemy podstawić \(\displaystyle{ t= \sin \frac{\alpha}{2}}\) i rozwiązać równanie względem \(\displaystyle{ t}\).

[Jarosz23]

Z funkcji podwojonego kąta możesz wyliczyć.

\(\displaystyle{ \sin 45=2\sin 22.5\cos 22.5}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} = 2\sin 22.5\cos 22.5}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{4} = \sin 22.5\cos 22.5}\)

\(\displaystyle{ \sin 22.5= \frac{ \sqrt{2} }{4\cos 22.5}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{4\cos 22.5} \right) ^2 + \cos ^{2}22.5 = 1}\)

\(\displaystyle{ t = \left( \cos 22.5 \right) ^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{16t} + t -1 = 0}\)

\(\displaystyle{ 16t^{2} - 16t + 2 = 0}\)

Dalej już chyba sobie poradzisz Wyjdzie ci to samo co z tego wzoru.

[Michael2318]

Wolałbym sobie wyprowadzić gotowy wzór z jakiejś własności funkcji trygonometrycznych, tak aby podstawić dane i otrzymać gotowy wynik.

Biorąc pod uwagę, że wskazaliście wzór na cosinus podwójnego kąta, wyprowadziłem to w ten sposób:

\(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = 1-2\sin ^{2} \alpha\\
2\sin ^{2} \alpha = 1-\cos 2 \alpha /:2\\
\sin ^{2} \alpha = 1-\cos \alpha / \sqrt{}\\
\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos \alpha } / :2}\)

\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \sqrt{ \frac{1 - \cos \alpha }{2} }}\)

Może ktoś powiedzieć czy dobrze to zrobiłem i nie ma jakiegoś byka gdzieś po drodze? Chodzi mi o to, żeby ktoś na maturze się do czegoś nie doczepił, chociażby do zapisu.

Druga sprawa - tak sobie teraz myślę, że kąt typu \(\displaystyle{ 22,5}\) stopnia tym sposobem wyliczę, ale co z kątami typu \(\displaystyle{ 64,5}\) stopnia ? Wtedy chyba ciężko będzie tym sposobem bo tutaj wykorzystujemy fakt, że kąt z połówką mnożymy razy dwa, aby otrzymać kąt, który jest liczbą całkowitą i faktycznie w przypadku \(\displaystyle{ 22,5}\) stopnia możemy to przemnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ 45}\) stopni. Taki kąt jest nawet łatwy do odczytania bo mamy podaną pełną wartość w tablicach matematycznych dla tego kąta: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Ale co w przypadku ww. kąta \(\displaystyle{ 64,5}\) ??Tu przy pomnożeniu przez \(\displaystyle{ 2}\), otrzymujemy kąt równy \(\displaystyle{ 129}\) stopni. Wartość dla takiego kąta nie jest zapisana w tabeli z wartościami kątów bo tam jest zakres \(\displaystyle{ 0 - 90}\). Ewentualnie wchodziłby tutaj w grę wzór redukcyjny, czyli w przypadku sinusa z \(\displaystyle{ 129}\) stopni, jest on równy cosinusowi z \(\displaystyle{ 39}\) stopni (wzór redukcyjny: \(\displaystyle{ \sin (90 + \alpha) = \cos \alpha}\) ). I wtedy operuję na tym, że cosinus z \(\displaystyle{ 39}\) stopni podzielony na dwa daje \(\displaystyle{ 19,5}\) stopnia i to jest to samo co sinus z \(\displaystyle{ 64,5}\) stopnia ? Czy to tak kompletnie nie działa ?

[dec1]

\(\displaystyle{ 2\sin ^{2} \alpha = 1-\cos 2 \alpha /:2\\
\sin ^{2} \alpha = 1-\cos \alpha / \sqrt{}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos \alpha } / :2}\)

\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \sqrt{ \frac{1 - \cos \alpha }{2} }}\)

Oj nie, tak nie dzielimy.

W zadaniu masz kąt \(\displaystyle{ 67.5^{\circ}=90^{\circ}-22.5^{\circ}}\) a nie \(\displaystyle{ 64.5^{\circ}}\).

[Michael2318]

Tak, ja wiem, ale tutaj rzuciłem obojętnie jakim kątem, aby dowiedzieć się jak to wyliczyć. Może być i kąt 67,5 stopnia, bez różnicy. Jak w tym wypadku dojść do tego ile ten kąt wynosi ?

Co do dzielenia to przecież to zwykłe dzielenie obu stron przez 2, aby skrócić dwójki (w pierwszym przypadku) i aby otrzymać kąt 45 stopni podzielony przez 2, więc czemu tak być nie może ??

[dec1]

To \(\displaystyle{ 2\alpha}\) jest przecież argumentem funkcji sinus, nie można tak sobie podzielić.

Raczej nie powinno być takich kątów na maturze.

[Michael2318]

hmm, możesz mnie nakierować jak to poprawnie powinno wyglądać (chodzi mi o samo wyprowadzenie tego wzoru) bo w sumie nie mam innego pomysłu.