Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej X,Y

[Maxym92]

Cześć,
mam do zrobienia zadanie:

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej (X,Y) określona jest tabelą

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|l|l|l|}
\hline
xy & 0 & 1 & 2\\
\hline
-1 & 0.1 & 0.1 & 0.3\\
\hline
1 & C & 0.2 & C\\
\hline
3 & 0.1 & C & 0.2\\
\hline
\end{tabular}}\)
(Pierwsza kolumna oznacza X, a pierwszy wiesz Y. Musiałem dodać z użyciem LaTeX, a nie wiedziałem jak to oznaczyć ładnie.)

a) Oblicz C, P(X<3| Y<2).
b) Czy zmienne X i Y są niezależne?

----

a) Suma prawdopodobieństw powinna dać 1, zgadza się? Bazując na tym zrobiłem równanie
\(\displaystyle{ 0.5+C+0.2+C+0.1+C+0.2=1}\)
\(\displaystyle{ C=0}\)



\(\displaystyle{ P(X<3| Y<2)}\) - Czy wystarczy taki rysunek? Oznaczyłem pola, które spełniają kryterium X<3 i pola które spełaniają Y<2. Po czym wyznaczyłem ich część wspólną (oznaczona kolorem żółtym).

\(\displaystyle{ P(X<3| Y<2)= \frac{4}{9}}\)

b) Nie potrafię określić i uargumentować tego niestety .

Pomoże ktoś? Dzięki!

[Premislav]

Tak, prawdopodobieństwa muszą się sumować do \(\displaystyle{ 1}\), wychodzi \(\displaystyle{ C=0}\) i zupełnie nie rozumiem, po co dawać coś takiego...
a) tutaj się mylisz, policzyłeś bowiem (chyba niepoprawnie) \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X<3, Y<2)}\), zaś definicja prawdopodobieństwa warunkowego wyglądała trochę inaczej, gdy się tego uczyłem.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A|B)= \frac{\mathbf{P}(A\cap B)}{\mathbf{P}(B)}}\) o ile \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B)>0}\). Wobec tegoż powinieneś podzielić to, co winieneś otrzymać (\(\displaystyle{ 0,4}\), a nie żadne \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\), skąd wziąłeś tę odpowiedź?) przez
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y<2)=0,5}\), a to daje \(\displaystyle{ 0,8}\)
b) a znasz definicję niezależności zmiennych losowych, czy nie bardzo?
Tutaj wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X<3|Y<2)\neq \mathbf{P}(X<3)}\)

[Maxym92]

Właśnie z tym C miałem wątpliwości, bo wydawało się aż zbyt proste. Ale to wprowadzenie, więc może dlatego.

a) Straszną głupotę zrobiłem . Mój błąd i rozumiem co w tym jest złego .

b) Rozumiem! Przepraszam, ale mam często problem ze zrozumieniem teorii, kiedy nie widzę sensownego przykładu.

\(\displaystyle{ P(X \le a)P(Y \le b) = P(X \le a \wedge Y \le b)}\)

O niezależności można mówić, kiedy zachodzi taka równość, zgadza się? Dzięki wielkie .

[Premislav]

b) no, tylko że aby \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) były niezależne, musiałoby to zachodzić dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b}\) rzeczywistych. Tutaj zatem wystarczy wskazać takie \(\displaystyle{ a,b}\), dla których to nie zadziała. Policzyłeś w podpunkcie a)
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X<3|Y<2)}\), a to z definicji prawdopodobieństwa warunkowego jest
\(\displaystyle{ \frac{\mathbf{P}(X<3,Y<2)}{\mathbf{P}(Y<2)}}\) i łatwo się przekonać (po prostu licząc to drugie), że to nie jest równe \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X<3)}\), a więc
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X<3,Y<2)\neq\mathbf{P}(X<3)\mathbf{P}(Y<2)}\), zatem X\(\displaystyle{ }\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są niezależne.

[Maxym92]

Wszystko zrozumiałem! Dziękuję bardzo!

Resztą zadań zrobiłem zgodnie z tym i faktycznie wyniki wychodzą tak jak podaje autor w sprawdzeniu na końcu .