Prostopadłe dwusieczne w czworościanie

kebab_123 · Post autor: **kebab_123** » 23 kwie 2016, o 22:33

Dany jest czworościan ABCD. Udowodnić, że jeżeli dwusieczna kąta ADB jest prostopadła do dwusiecznej kąta BDC, to jest ona również prostopadła do dwusiecznej kąta ADC.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 23 kwie 2016, o 23:40

Dany jest czworościan ABCD.

Czy chodzi o czworościan foremny, czy o dowolny ostrosłup trójkątny?

Pinionrzek · Post autor: **Pinionrzek** » 24 kwie 2016, o 00:55

To jest zadanie 11. z pierwszego etapu 62 OM .

kerajs · Post autor: **kerajs** » 24 kwie 2016, o 11:49

Gdyby przedłużyć krawędzie czworościanu będące ramionami kąta do półprostych to dwusieczna będzie ich osią symetrii.
Niech D będzie w środku układu współrzędnych a dodatnie półosie OX i OY będą dwusiecznymi odpowiednio kąta ADB i BDC. Zakładam że półprosta zawierająca ramię DB przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (a,b,-c)}\) gdzie a,b,c są dodatnie. Wtedy symetralna do niej półprosta zawierająca ramię DA przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (-a,b,c)}\), a półprosta zawierająca ramię DC przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (a,-b,c)}\). Stąd trzecia dwusieczna jest półprostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,c)}\) czyli jest dodatnią półosią OZ prostopadłą do dwóch pozostałych dwusiecznych (półosi OX i OY) .

kebab_123 · Post autor: **kebab_123** » 24 kwie 2016, o 13:01

Dzięki za pomoc!