Zbadaj rózniczkowalność funkcji

[janusz2000]

Czesc, mam zbadac rozniczkowalnosc nastepujacych funkcji:

1. \(\displaystyle{ \\ f(x,y) = \sqrt{x^4+y^4}}\)

2. \(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^4} &\text{dla } x \neq (0,0)\\0 &\text{dla } x = (0,0) \end{cases}}\)

3.\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^2} &\text{dla } x \neq (0,0)\\0 &\text{dla } x = (0,0) \end{cases}}\)

Ad.1
Funkcja jest różniczkowalna jako złożenie funkcji rózniczkowalnych, nie wiem czy to jest wystarczające uzsadnienie. Jeśli nie to mogę skorzystać z warunku wystarczającego na różniczkowalnosc (istnieją pochodne cząstkowe i są ciągłe).

Wtedy
\(\displaystyle{ \\ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4+y^4}}
\\ \\ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y^3}{\sqrt{x^4+y^4}}}\)

a dla punktu \(\displaystyle{ x_{0} = (0,0):}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0) = 0}\) // z definicji na pochodną cząstkową w punkcie
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0) = 0}\) // symetrycznie

Potem wystarczy pokazać, że funkcje \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}}\)są ciągłe. Z tego otrzymujemy warunek wystarczający na różniczkowalność.

Ad. 2
Tutaj najpierw badam ciągłość funkcji:

Dla ciągów:
\(\displaystyle{ \\ (x_n, y_n) = (\frac{2}{n^2}, \frac{1}{n})}\) otrzymujemy granicę: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f(x_n, y_n) = \frac{2}{5}}\)

\(\displaystyle{ (x_n, y_n) = (\frac{3}{n^2}, \frac{1}{n})}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f(x_n, y_n) = \frac{3}{10}}\)

Z tego wynika, ze funkcja nie jest nawet ciagla, czyli warunek konieczny nie zostal spelniony -> f nie jest rozniczkowalna.

Ad. 3
Poza punktem \(\displaystyle{ x_{0} = (0,0)}\) jest rozniczkowalna jako iloraz funkcji rozniczkowalnych, sprawdze wiec z defnicji rozniczkowalnosc w \(\displaystyle{ x_{0} = (0,0)}\):

\(\displaystyle{ f(x_0+h)-f(x_0)=L_{x_0}(h) + r_{x_0}(h)}\)

funkcja jest rozniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = (0,0)}\) wtedy i tylko wtedy gdy:

\(\displaystyle{ \lim_{h\to\ x_0} \frac{r_{x_0}(h)}{||h||} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h\to\ x_0} \frac{r_{x_0}(h)}{||h||} = \lim_{h\to\ x_0}\frac{\frac{h_1h_2^2}{h_1^2 + h_2^2}}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \lim_{r\to\ 0}\frac{r^3cos\alpha sin^2\alpha}{r^3} = \lim_{r\to\ 0}cos\alpha sin^2\alpha}\) a taka granica nie istnieje, z czego wynika, ze funkcja nie jest rozniczkowalna.

Moglby ktos rzucic na to okiem i sprawdzic czy dobrze rozumuje?

Z gory dziekuje

[norwimaj]

\(\displaystyle{ = \lim_{r\to\ 0}\frac{r^3cos\alpha sin^2\alpha}{r^3} = \lim_{r\to\ 0}cos\alpha sin^2\alpha}\) a taka granica nie istnieje,

Taka granica istnieje i jest równa \(\displaystyle{ \cos\alpha \sin^2\alpha}\). Ten fragment rozwiązania trzeba inaczej sformułować.