Pochodne, ciągłość, kilka pytań.

[NogaWeza]

Witam, mam kilka pytań i wątpliwości dotyczących rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych. Na początek chcę się upewnić czy dobrze rozumiem kilka zależności.

1. Funkcja różniczkowalna w danym punkcie jest w nim ciągła.

2. Jeśli funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe to jest różniczkowalna.

Pytanie do nr 2: czy funkcja może nie mieć pochodnych ciągłych, a mimo to być w tym punkcie różniczkowalna? Nie wiem właśnie czy różniczkowalność i ciągłość pogodnych cząstkowych to warunki równoważne?

[szw1710]

ad 2.

Tak być nie może, z różniczkowalności wynika istnienie pochodnych cząstkowych, a nawet więcej - pochodnych kierunkowych. Natomiast istnieją funkcje nieciągłe mające mimo wszystko pochodne cząstkowe. Tak jest np. dla

\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases}
\dfrac{xy}{x^2+y^2}&\text{dla }(x,y)\ne(0,0)\\
0&\text{dla }(x,y)=(0,0).
\end{cases}}\)

[NogaWeza]

Dziękuję za odpowiedź. Chętnie zadałbym Panu jeszcze kilka pytań, o ile to nie problem.

Ta funkcja przytoczona przez Pana nie jest różniczkowalna, prawda? Bo owszem, mogą istnieć dla niej pochodne cząstkowe i kierunkowe, ale nie jest ona ciągła. A ciągłość to warunek konieczny różniczkowalności, zgadza się?

Czyli jeszcze raz odnosząc się do punktu 2: jeśli funkcja jest ciągła w danym punkcie i ma w tymże punkcie pochodne cząstkowe ciągłe, to jest różniczkowalna- dobrze rozumiem?

[szw1710]

Ta funkcja przytoczona przez Pana nie jest różniczkowalna, prawda? Bo owszem, mogą istnieć dla niej pochodne cząstkowe i kierunkowe, ale nie jest ona ciągła. A ciągłość to warunek konieczny różniczkowalności, zgadza się?

Tak.

Czyli jeszcze raz odnosząc się do punktu 2: jeśli funkcja jest ciągła w danym punkcie i ma w tymże punkcie pochodne cząstkowe ciągłe, to jest różniczkowalna- dobrze rozumiem?

Ciągłości samej funkcji nie trzeba zakładać, tylko ciągłość pochodnych cząstkowych. Stąd mamy różniczkowalność, a stąd już wynika ciągłość funkcji.

[NogaWeza]

Dobrze, dziękuję. Mam jeszcze pytanie co do różniczkowalności w sensie Frecheta. Czy w przypadku funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}}\) (bo z takimi najczęściej będę się spotykał) różniczkowalność w sensie Frecheta to to samo co "zwykła" różniczkowalność? Czy może jednak istnieją funkcje różniczkowalne w sensie Frecheta o np. pochodnych nieciągłych?

[janusz2000]

Podłącze się do tematu.
Jezeli chcemy sprawdzić różcznikowalność jakies funkcji to mamy warunki konieczne i wystarczajace, w przypadku kiedy spodziewamy sie funkcji, ktora nie jest rozniczkowalna warto sprawdzac warunki konieczne bo czasami latwiej je rozwiazac.

Warunki konieczne rozniczkowalnosc f. wielu zmiennych w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\)

- ciaglosc w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\), latwo to sprawdzic, dlatego warto w pierwszej kolejnosci to zrobic,
- istnieją pochodne cząstkowe,
- istnieją pochodne wzdłuż dowolnego wektora w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\),

Jezeli wszystkie te warunki zachodza to nic nie wiemy, tutaj wchodzą warunki wystarczające i definicja f. rozniczkowalnej:

Warunek wystarczający różniczkowalności
- istnieją pochodne cząstkowe i są ciągłe w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\),

Albo mozna sprawdzić różniczkowalność z definicji jako kombinację liniową.

Mam watpliwosci co do 2 ostatnich warunkow koniecznych, czy to nie jest tak naprawde to samo?

[NogaWeza]

Pytanie: jak zatem mam badać różniczkowalność funkcji? Rozumiem, że jeśli pokażę istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych, to mogę wnioskować, że funkcja jest różniczkowalna, tak? Ale co w przypadku, kiedy pokażę, że istnieją pochodne cząstkowe, ale nie są one ciągłe? Za wikipedią:

W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe, więc pochodna Frécheta pokrywa się w tym przypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych.

Zachodzi również twierdzenie Schwarza mówiące, że jeśli wszystkie pochodne cząstkowe f istnieją i są ciągłe, to f jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: funkcja może być różniczkowalna w sensie Frécheta, jednak jej pochodne cząstkowe mogą nie być ciągłe.

Rozumiem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Istnieją pochodne cząstkowe ciągłe - wnioskuję o różniczkowalności funkcji.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Istnieją pochodne cząstkowe, ale nie są ciągłe - nie jestem w stanie nic stwierdzić i muszę zbadać z definicji czy funkcja jest różniczkowalna (wydzielić liniowy przyrost i zbadać czy reszta zbiega do zera odpowiednio szybko).
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) Pochodne cząstkowe nie istnieją - funkcja na pewno nie jest różniczkowalna.

No i teraz chwila prawdy - czy moje zrozumienie tematu jest poprawne? Proszę o potwierdzenie lub wyprowadzenie mnie z błędu, bo niepewność nie daje mi spokoju. Z góry dziękuję.