Czołem, potrzebuję pomocy w przykładzie:
\(\displaystyle{ \frac{arcsinx}{ \sqrt{{ (1- x^{2})^{3} }} }}\)
potęga trzecia dotyczy nawiasu pod pierwiastkiem
Przyznaję, że nie bardzo wiem, od której strony się za to zabrać. W teorii przez części, ale w praktyce chyba nie widzę elementu, który pozwoliłby mi łatwo wyeliminować potęgę trzecią z mianownika i pomóc w rozwiązaniu zadania.
Całka nieoznaczona, funkcje cyklometryczne
Całka nieoznaczona, funkcje cyklometryczne
sqrt{}, nie sqrt().Na początek ja proponuję podstawienie \(\displaystyle{ u=\arcsin x}\) i \(\displaystyle{ du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}\) i przez części.
-
Fenrir
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 28 cze 2015, o 20:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Całka nieoznaczona, funkcje cyklometryczne
Próbowałem dokładnie tego samego, ale nie wiem, co zrobić w tym momencie z potęgą 3 w mianowniku.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Całka nieoznaczona, funkcje cyklometryczne
Nie wiem, czy odrobinę wygodniej nie byłoby, gdyby najpierw policzyć
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{(1-x^{2})^{3}} }}\)
- gdy się podstawi \(\displaystyle{ x=\sin t}\), a potem wróci z podstawieniem, to właściwie w pamięci wychodzi
\(\displaystyle{ \tg(\arcsin x)+C}\)
zaś następnie, wracając do wyjściowej całki, liczymy przez części,
\(\displaystyle{ u=\arcsin x, dv= \frac{1}{ \sqrt{(1-x^{2})^{3}} }, v=\tg(\arcsin x)}\)
Wtedy po scałkowaniu przez części błyskawicznie otrzymamy wynik końcowy w postaci
\(\displaystyle{ \arcsin x \cdot \tg(\arcsin x)+\ln|\cos(\arcsin x)|+C}\)
i wystarczy pokombinować z tożsamościami trygonometrycznymi, żeby to trochę uprościć. No ale co kto lubi.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{(1-x^{2})^{3}} }}\)
- gdy się podstawi \(\displaystyle{ x=\sin t}\), a potem wróci z podstawieniem, to właściwie w pamięci wychodzi
\(\displaystyle{ \tg(\arcsin x)+C}\)
zaś następnie, wracając do wyjściowej całki, liczymy przez części,
\(\displaystyle{ u=\arcsin x, dv= \frac{1}{ \sqrt{(1-x^{2})^{3}} }, v=\tg(\arcsin x)}\)
Wtedy po scałkowaniu przez części błyskawicznie otrzymamy wynik końcowy w postaci
\(\displaystyle{ \arcsin x \cdot \tg(\arcsin x)+\ln|\cos(\arcsin x)|+C}\)
i wystarczy pokombinować z tożsamościami trygonometrycznymi, żeby to trochę uprościć. No ale co kto lubi.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Całka nieoznaczona, funkcje cyklometryczne
\(\displaystyle{ \int{\frac{\arcsin{x}}{ \sqrt{{ (1- x^{2})^{3} }} } \mbox{d}x }\\
\int{\frac{\arcsin{x}}{\left( 1-x^2\right) \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int{\frac{\left( \left( 1-x^2\right)+x^2 \right) \arcsin{x}}{\left( 1-x^2\right) \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x}\\
\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}} \mbox{d}x }+\int{\frac{x}{\left( 1-x^2\right) \sqrt{1-x^2} } \cdot \left( x\arcsin{x}\right) \mbox{d}x }\\
=\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}-\int{\left(\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{1-x^2}\right)\mbox{d}x}-\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}} \mbox{d}x }\\
=\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\int{\frac{\left( -2x\right) }{1-x^2} \mbox{d}x }\\
=\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln{\left| 1-x^2\right| }+C\\}\)
\int{\frac{\arcsin{x}}{\left( 1-x^2\right) \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int{\frac{\left( \left( 1-x^2\right)+x^2 \right) \arcsin{x}}{\left( 1-x^2\right) \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x}\\
\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}} \mbox{d}x }+\int{\frac{x}{\left( 1-x^2\right) \sqrt{1-x^2} } \cdot \left( x\arcsin{x}\right) \mbox{d}x }\\
=\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}-\int{\left(\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{1-x^2}\right)\mbox{d}x}-\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}} \mbox{d}x }\\
=\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\int{\frac{\left( -2x\right) }{1-x^2} \mbox{d}x }\\
=\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln{\left| 1-x^2\right| }+C\\}\)
Całka nieoznaczona, funkcje cyklometryczne
\(\displaystyle{ \int\frac{\arcsin x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}dx=\int u \sec^2 u du=u\tg u-\int\frac{\sin u}{\cos u} du \bigg| s=\cos u}\)
\(\displaystyle{ =u\tg u+\int\frac{1}{s}ds=u\tg u +\ln s+C=\arcsin x\tg(\arcsin x)+\ln(\cos(\arcsin x))+C}\)
\(\displaystyle{ =\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln(1-x^2)+C}\)
Wg mnie sposób wcale wygodny.
\(\displaystyle{ =u\tg u+\int\frac{1}{s}ds=u\tg u +\ln s+C=\arcsin x\tg(\arcsin x)+\ln(\cos(\arcsin x))+C}\)
\(\displaystyle{ =\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln(1-x^2)+C}\)
Wg mnie sposób wcale wygodny.