zależności między maximum i minimum - czy prawa?

[Tomas_91]

Proszę o pomocy, czy poniższej rozumowanie jest okey.

Chcemy wykazać, że zachodzi:
\(\displaystyle{ p \le q,}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ p=\max_{x}\min_{y}F(x,y)}\)
\(\displaystyle{ q=\min_{y}\max_{x}F(x,y)}\)

Udowodnienie:

\(\displaystyle{ F(x,y) \le \max_{x}F(x,y)}\)
Bierzemy obustronne mimimum po drugiej współrzędnej:
\(\displaystyle{ \min_{y}F(x,y) \le \min_{y}\max_{x}F(x,y)}\)
\(\displaystyle{ \min_{y}F(x,y) \le q}\)

I teraz, skoro jest to spełnione dla wszystkich iksów, to w szczególności możemy (?) sobie wziąć maximum, czyli:

\(\displaystyle{ \max_{x} \min_{y}F(x,y) \le q}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ p \le q,}\)

Czy taki dowód jest okey?

[szw1710]

Tak. Polega właśnie na dowolności wyboru argumentów \(\displaystyle{ x,y}\). Oczywiście trzeba założyć istnienie tych maksimów po obu współrzędnych.

[Tomas_91]

Dziękuję za pomoc.