czy odwzorowanie jest normą

[esserpmi]

Mam problem z takim zadaniem:

sprawdź czy poniższe odwzorowania są normami w przestrzeni \(\displaystyle{ C[-1,1]}\):
\(\displaystyle{ ||u|| = \int_{0}^{1}|t u(t)|dt}\)
\(\displaystyle{ ||u|| = \int_{-1}^{1}|t u(t)|dt}\)

[brzoskwinka1]

pierwsze nie jest, drugie jest.

[esserpmi]

A dlaczego pierwsze nie jest?

[brzoskwinka1]

Bo dla funkcji \(\displaystyle{ u(t) =|t|-t}\), mamy \(\displaystyle{ ||u||=0.}\)

[esserpmi]

wyobrażałam to sobie podobnie w tym drugim przypadku nie ma tego problem bo przedział całkowania jest taki sam jak dziedzina funkcji

Jeszcze jedno pytanie, co do norm: jak mamy takie odwzorowanie \(\displaystyle{ ||u||= \sup_{t \in [0,1]} |u'(t)|}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ C^1_0[0,1]={u \in C^1[0,1]: u(0)=0}}\) to ono jest normą, ale jak to pokazać...

[Andiwi]

Mam takie zadanie, sprawdzić, czy odwzorowanie:
\(\displaystyle{ \alpha : f \in C ^{1}\left[ 0,1\right] \rightarrow\alpha \left( f\right) := \left| f\left( 0\right) \right|+sup\left\{ \left| f ^{'}\left( x\right) \right|: x \in \left[ 0,1\right] \right\} \in R}\)
jest normą w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ C ^{1}\left[ 0,1\right]}\).

[liu]

No to się zastanówmy.

1. Jednorodność jest jasna.
2. Nierówność trójkąta wynika wprost z tego, że różniczkowanie jest operacją liniową, a sup zachowuje się dobrze przy sumowaniu i braniu nierówności.
3. Jedynym wymagającym odrobiny pomyślunku elementem jest implikacja \(\displaystyle{ \alpha(f)=0 \Rightarrow f=0}\).

Skoro \(\displaystyle{ \alpha(f)=0}\), to (tam jest suma dwóch liczb nieujemnych) \(\displaystyle{ |f(0)|=0}\) oraz \(\displaystyle{ \sup \{ |f'(x)|: x\in [0,1]\}=0}\). Skoro ten kres górny liczb nieujemnych jest równy zero, to oznacza to, że \(\displaystyle{ |f'(x)|=0}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\). Zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest stała, i skoro \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\).

Zadanie dla Ciebie - czy ta norma jest równoważna ze zwykłą normą supremum rozpatrywaną na tej przestrzeni \(\displaystyle{ C^1 [0,1]}\)?

[nnnmmm]

Bo dla funkcji \(\displaystyle{ u(t) =|t|-t}\), mamy \(\displaystyle{ ||u||=0.}\)

a jak podstawimy to samo do rugiego przykładu, to ta norma też jest równa 0, dla funkcji innej niż 0. Dlaczego drugi przykład to norma?

[a4karo]

Bo dla funkcji \(\displaystyle{ u(t) =|t|-t}\), mamy \(\displaystyle{ ||u||=0.}\)

a jak podstawimy to samo do rugiego przykładu, to ta norma też jest równa 0, dla funkcji innej niż 0. Dlaczego drugi przykład to norma?

Przeliczyłes to?