Minimalizacja funkcji

[makuu]

Witam,
Mając funkcję \(\displaystyle{ F_n = F(n) = \frac{1}{ \sqrt{5} } ( ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}) ^{n} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2}) ^{n} )}\) chcę dla danej stałej np \(\displaystyle{ N=100}\) znaleźć takie \(\displaystyle{ k}\) całkowite, że \(\displaystyle{ |F(k) - N| \rightarrow min}\), dla \(\displaystyle{ n>0}\) czyli chcę znaleźć najmniejszą odległość między wartością funkcji \(\displaystyle{ F}\) a \(\displaystyle{ 100}\). Nietrudno zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ F(n)}\) to jawne równanie ciągu Fibonacciego. Problem jest w tym, że mamy tu 'szpiczaste' wgłębienie, tzn nie istnieje rzeczywista pochodna przy wyznaczaniu punktów krytycznych z powodu członu \(\displaystyle{ (\frac{1-\sqrt{5}}{2}) ^{n}}\).
Jak to zrobić innymi matematycznymi metodami?
A może zapytam inaczej: czy da się to zrobić metodami niewymagającymi iterowania (metody numeryczne), algorytmiki, etc?

-- 16 kwi 2016, o 14:20 --

Ok wydaje mi się, że znam rozwiązanie. Trzeba rozwiązać równanie \(\displaystyle{ F_n = F(n) = \frac{1}{ \sqrt{5} } ( ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}) ^{n} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2}) ^{n} ) = 100}\) i dla liczby z ułamkiem, np \(\displaystyle{ 9.68}\) poprawny wynik będzie 9 lub 10, z racji tego, że ciąg Fibonacciego ma rosnące wyrazy.
Pytanie tylko jak rozwiązać takie równanie

[kicaj]

Podstaw \(\displaystyle{ u =\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n}\) wówczas \(\displaystyle{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n =\frac{(-1)^n}{u}}\) i otrzymujemy równanie

\(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{u} -u =100\sqrt{5}}\)

[makuu]

Ale dalej nie wiem czy to pomoże wyznaczyć jakąś jawną postać \(\displaystyle{ n}\)