całka trygonometryczna

Suomka · Post autor: **Suomka** » 15 kwie 2016, o 18:52

Witajcie, mam problem z pewną całką, a raczej z wynikiem jaki według książki powinien wyjść:

\(\displaystyle{ \int \frac{x \cdot \cos \left( x \right) }{{\sin ^2 \left( x \right) }}dx}\)
Podręcznik sugeruje, iż powinno uzyskać się:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} \left( \frac{x}{{\sin ^2 \left( x \right) }} + \ctg \left( x \right) \right) +C}\)
Natomiast mi zawsze pojawia się w wyniku logarytm naturalny. Całkuję przez części, zaczynając od tego, że:
\(\displaystyle{ u = x}\)
\(\displaystyle{ v'=\frac{\cos \left( x \right) }{{\sin ^2 \left( x \right) }}}\)
Proszę o jakąś pomoc z tym zadaniem.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 15 kwie 2016, o 18:58

Pomysł z całkowaniem przez części jest tu chyba najlepszy. Twój wynik wcale nie musi być zły, zróżniczkuj to, co otrzymujesz i zobacz, czy dostaniesz w ten sposób funkcję podcałkową.
Wynik z odpowiedzi na pierwszy rzut oka może się mocno różnić od Twojego, ale z uwagi na przeróżne tożsamości może się okazać, że nie ma tu żadnej sprzeczności.

Suomka · Post autor: **Suomka** » 15 kwie 2016, o 19:04

Tylko jak można za pomocą tożsamości zamienić na coś ten logarytm, albo to co w wyniku podręcznikowym, na logarytm ?

Sprawdziłam pochodną z wyniku, jest on podany, ale dla sinusa w 3 potędze, w mianowniku.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 15 kwie 2016, o 19:13

Ależ nie musisz tego robić! Całka nieoznaczona to rodzina funkcji równych z dokładnością do stałej, więc jeśli pochodna tego wyniku z odpowiedzi to funkcja podcałkowa i pochodna tego Twojego wyniku to też funkcja podcałkowa, to wszystko jest OK.
\(\displaystyle{ \int \frac{x \cdot \cos \left( x \right) }{{\sin ^2 \left( x \right) }}dx=- \frac{x}{\sin x}+ \int_{}^{} \frac{dx}{\sin x}=\\=- \frac{x}{\sin x}- \int_{}^{} \frac{-\sin x}{1-\cos^{2}x}dx=- \frac{x}{\sin x}- \frac{1}{2}\ln\left| 1+\cos x\right|+ \frac{1}{2}\ln\left| 1-\cos x\right| +C}\)
Tak Ci wychodzi?

Suomka · Post autor: **Suomka** » 15 kwie 2016, o 19:29

Tak, tego typu odp uzyskuję, ewentualnie po przekształceniach z połówkowymi argumentami funkcji trygonometrycznych, jeśli zastosuję przekształcenia. Pochodna z książkowego wyniku wskazuje, że w mianowniku sinus winien być w 3 potędze. Dziękuję Ci za pomoc.