Obliczyć całkę

[Karolina93]

Hej Czy ma ktoś pomysł jak obliczyć poniższą całkę ?

\(\displaystyle{ \int \left( 1+x^{2}\right)^{ -\frac{3}{2}}dx}\)

[Premislav]

Tak. Podstaw \(\displaystyle{ x=\tg t, \mbox{d}x= \frac{\mbox{d}t}{\cos^{2}t}}\) i skorzystaj z tożsamości
\(\displaystyle{ 1+\tg^{2}t= \frac{1}{\cos^{2}t}}\)-- 13 kwi 2016, o 15:52 --Alternatywny sposób:
\(\displaystyle{ \int \left( 1+x^{2}\right)^{ -\frac{3}{2}}dx=\int (1+x^{2})\left( 1+x^{2}\right)^{ -\frac{3}{2}}dx-\int x^{2}\left( 1+x^{2}\right)^{ -\frac{3}{2}}dx=\\=\arcsin x+ \int_{}^{} x\left( (1+x^{2})^{-\frac 1 2} \right)' dx}\)
i liczysz przez części tę drugą.

[Straznik Teksasu]

https://www.matematyka.pl/405894.htm
Taka sama całka.

[Mariusz M]

Z podstawień dosyć dobrze pasuje \(\displaystyle{ \sqrt{1+x^2}=t-x}\)

Premislav, to nie będzie \(\displaystyle{ \arcsin}\)
a ta całka powinna się skrócić
(po scałkowaniu przez części i skorzystaniu z liniowości pod całką pojawi się zero
z czego dostaniemy stałą)

[Premislav]

O rany, chyba przez chwilę widziałem minusa tam, gdzie był plus. Dzięki za zwrócenie uwagi i przepraszam Karolinę93. Jest tak, jak piszesz, to się ładnie skróci po policzeniu tej drugiej całki przez części i dostaniemy \(\displaystyle{ \frac{x}{ \sqrt{1+x^{2}} } +C}\).

Jeśli ktoś lubi, to można tez podstawić \(\displaystyle{ x=\sinh t.}\) No i z tego zaraz wyjdzie tangens hiperboliczny plus stała.

[Karolina93]

Dziękuję za pomoc

[Mariusz M]

Z podstawień ja bym jednak proponował albo Eulera
albo te związanie z całkowaniem różniczki dwumiennej bo sprowadzają całkę
do całki z funkcji wymiernej