Pole obszaru.

[Mervius]

Witam, mam do policzenia pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji lub liniami:

\(\displaystyle{ F(x) = x e^{-x ^{2} }, x \ge 0}\)

Przedział, jak zakładam jest \(\displaystyle{ [0; infty)}\)
Wzór na pole znam, moduł mogę usunąć, zważając na to, że funkcja w danym przedziale jest nieujemna.
Zapewne też, trzeba to policzyć jako całkę niewłaściwą. Niestety nie mam pojęcia jak się do tego zabrać. Czy ktoś mógłby mnie naprowadzić, od czego zacząć?

Pozdrawiam.

[dec1]

Całka z \(\displaystyle{ e^{-x^2}}\) jest nieelementarna i wynosi \(\displaystyle{ \int e^{-x^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}erf(x)}\).

Edit:
Nvm ślepy jestem. No ale może Ci się kiedyś przyda

[Premislav]

No po prostu liczysz \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}xe^{-x^{2}}dx}\), tu nie ma nic trudnego, wykonujesz podstawienie za wykładnik i zaraz koniec.

dec1, ale tam jest \(\displaystyle{ x e^{-x ^{2} }}\)

[Mervius]

No właśnie po raz pierwszy usłyszałem o czymś takim jak "nieelementarna".

Przepraszam, że zadam może głupie pytanie, ale jak policzyć z tego całkę nieoznaczoną?
Próbowałem przez części, niestety nie potrafię tego doprowadzić do końca.

[dec1]

Przez podstawienie \(\displaystyle{ u=-x^2}\).

[Mervius]

Nie wiem, dostałem dziś całkowitego otumanienia. Jeżeli podstawię \(\displaystyle{ u = -x ^{2}}\)
To przy wyliczeniu \(\displaystyle{ x = \sqrt{-u}}\) a \(\displaystyle{ dx = \frac{2}{3}u \sqrt{-u}du ?}\)

[dec1]

\(\displaystyle{ \int xe^{-x^2}dx}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ u=-x^2}\) i \(\displaystyle{ du=-2xdx}\):
\(\displaystyle{ \int -\frac{e^u}{2}du=}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int e^udu=}\)
\(\displaystyle{ -\frac{e^u}{2}=}\)
\(\displaystyle{ -\frac{e^{-x^2}}{2}+C}\)
Dalej \(\displaystyle{ F(b)-F(a)}\).

[Mervius]

Dziękuję za pomoc, udało mi się doprowadzić zadanie do końca i uzyskać poprawny wynik Jakoś się zamotałem podczas podstawiania.
Pozdrawiam.