LXVII (67) OM - finał
LXVII (67) OM - finał
Widzę, że nikt nie rozpoczął tematu, więc zacznę. Jak pierwszy dzień? Wrzuci ktoś zadanka?
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
LXVII (67) OM - finał
\(\displaystyle{ 1}\). Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie ustaloną liczbą pierwszą. Znaleźć wszystkie nieujemne liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), dla których wielomian
\(\displaystyle{ W(x) = x^4 - 2(n+p)x^2 + (n-p)^2}\)
może być zapisany w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.
\(\displaystyle{ 2}\). Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) o środku \(\displaystyle{ I}\) wpisany w czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) jest styczny do boku \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\), a do boku \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ N}\), przy czym \(\displaystyle{ \angle BAD + \angle ADC < 180^{\circ}}\). Na prostej \(\displaystyle{ MN}\) wybrano taki punkt \(\displaystyle{ K \neq M}\), że \(\displaystyle{ AK = AM}\). Dowieść, że prosta \(\displaystyle{ ID}\) przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ KN}\).
\(\displaystyle{ 3}\). Dane są dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Przez \(\displaystyle{ f(a, b)}\) oznaczamy liczbę takich \(\displaystyle{ a}\)-wyrazowych ciągów liczb całkowitych, że suma wartości bezwzględnych wyrazów ciągu nie przekracza \(\displaystyle{ b}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(a, b) = f(b, a)}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^4 - 2(n+p)x^2 + (n-p)^2}\)
może być zapisany w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.
\(\displaystyle{ 2}\). Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) o środku \(\displaystyle{ I}\) wpisany w czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) jest styczny do boku \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\), a do boku \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ N}\), przy czym \(\displaystyle{ \angle BAD + \angle ADC < 180^{\circ}}\). Na prostej \(\displaystyle{ MN}\) wybrano taki punkt \(\displaystyle{ K \neq M}\), że \(\displaystyle{ AK = AM}\). Dowieść, że prosta \(\displaystyle{ ID}\) przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ KN}\).
\(\displaystyle{ 3}\). Dane są dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Przez \(\displaystyle{ f(a, b)}\) oznaczamy liczbę takich \(\displaystyle{ a}\)-wyrazowych ciągów liczb całkowitych, że suma wartości bezwzględnych wyrazów ciągu nie przekracza \(\displaystyle{ b}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(a, b) = f(b, a)}\)
3:
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
LXVII (67) OM - finał
Dzisiejsze zadania.
4. Niech \(\displaystyle{ k, \ n}\) będą liczbami nieparzystymi większymi od \(\displaystyle{ 1}\). Wykazać, że jeśli istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ k | 2^a+1}\) oraz \(\displaystyle{ n | 2^a-1}\), to wtedy nie istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ n | 2^b+1}\) oraz \(\displaystyle{ k | 2^b-1}\).
5. Dane są dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a<b}\). Dowieść, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ p, \ q, \ r, \s}\), że \(\displaystyle{ a< \frac{p}{q} < \frac{r}{s} < b}\) oraz \(\displaystyle{ p^2+q^2=r^2+s^2}\).
6. Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Prosta \(\displaystyle{ AI}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) oraz okrąg opisany na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ S \neq A}\). Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle DSB}\), a punkt \(\displaystyle{ L}\)- w \(\displaystyle{ \triangle DSC}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest odbiciem symetrycznym punktu \(\displaystyle{ I}\) względem prostej \(\displaystyle{ KL}\). Wykazać, że kąt \(\displaystyle{ BPC}\) jest prosty.
4. Niech \(\displaystyle{ k, \ n}\) będą liczbami nieparzystymi większymi od \(\displaystyle{ 1}\). Wykazać, że jeśli istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ k | 2^a+1}\) oraz \(\displaystyle{ n | 2^a-1}\), to wtedy nie istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ n | 2^b+1}\) oraz \(\displaystyle{ k | 2^b-1}\).
5. Dane są dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a<b}\). Dowieść, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ p, \ q, \ r, \s}\), że \(\displaystyle{ a< \frac{p}{q} < \frac{r}{s} < b}\) oraz \(\displaystyle{ p^2+q^2=r^2+s^2}\).
6. Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Prosta \(\displaystyle{ AI}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) oraz okrąg opisany na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ S \neq A}\). Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle DSB}\), a punkt \(\displaystyle{ L}\)- w \(\displaystyle{ \triangle DSC}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest odbiciem symetrycznym punktu \(\displaystyle{ I}\) względem prostej \(\displaystyle{ KL}\). Wykazać, że kąt \(\displaystyle{ BPC}\) jest prosty.
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
LXVII (67) OM - finał
Cóż za niegrzeczna odpowiedź.
Olimpiada uznaje twierdzenie Mihailescu z 2002(kosmicznie trudne), ale nie uznaje twierdzenia Landau z 1908 (dowód wymaga minimalnej wiedzy z analitycznej teorii liczb) - jestem zaskoczona. Rozumiem, jak ktoś nie podaje nazwiska, ani źródła...
A jakbym to sprowadziła do prime number theorem, albo \(\displaystyle{ \sum_{p \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \infty}\) to już ok?
Olimpiada uznaje twierdzenie Mihailescu z 2002(kosmicznie trudne), ale nie uznaje twierdzenia Landau z 1908 (dowód wymaga minimalnej wiedzy z analitycznej teorii liczb) - jestem zaskoczona. Rozumiem, jak ktoś nie podaje nazwiska, ani źródła...
A jakbym to sprowadziła do prime number theorem, albo \(\displaystyle{ \sum_{p \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \infty}\) to już ok?
-
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 78 razy
LXVII (67) OM - finał
7 osób ma 36 punktów.
To jest jakieś nieporozumienie. Jeśli tyle dla Was znaczy, ludzie, takie zaangażowanie Jakuba Ochnika w olimpiadę, on poświęcił swoją edukację, pieniądze i wszystko inne, to Was nie powinno się szanować. Świstaki, Cieśle, komisje zadaniowe będą wam odbierały smak życia.
Tylko to się na tej olimpiadzie nadaje, powiedzieć Wam "niech drugi etap zdecyduje o IMO". A, szkoda gadać, szkoda strzępić ryja, naprawdę.
To jest jakieś nieporozumienie. Jeśli tyle dla Was znaczy, ludzie, takie zaangażowanie Jakuba Ochnika w olimpiadę, on poświęcił swoją edukację, pieniądze i wszystko inne, to Was nie powinno się szanować. Świstaki, Cieśle, komisje zadaniowe będą wam odbierały smak życia.
Tylko to się na tej olimpiadzie nadaje, powiedzieć Wam "niech drugi etap zdecyduje o IMO". A, szkoda gadać, szkoda strzępić ryja, naprawdę.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 24 kwie 2015, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
LXVII (67) OM - finał
Kaszubki, trochę nie masz racji. Drugi etap bardzo często decydował o IMO (zdarzało się, że 5-7 miejsce miało tyle samo punktów i patrzyło się na drugi etap), więc nie należy go lekceważyć i na nim też należy walczyć o jak najlepszy wynik.
Natomiast w 100% zgadzam się, że komisja zadaniowa dała w tym roku ciała na finale i wręcz zaledwie 7 osób z maksem to tylko efekt tego, że paru mocnym uczestnikom podwinęła się noga, bo swobodnie mogło być i 10 (całe szczęście, że przynajmniej drugi etap różnicował ludzi, bo dopiero wtedy byłby problem z ekipą na IMO). Zadania były zdecydowanie za proste, bardzo standardowe (no poza 5), a przede wszystkim nie było ani jednego zadania z kategorii trudne. Podobno tę rolę miało pełnić 6, ale ono jest naprawdę proste i sztampowe (jeden trójliść, a potem rachunki na kątach) - zrobiło je 25-30 osób (na co najmniej 5pkt). Zbliżoną trudność miało 5, resztę zadań robiło już dużo więcej ludzi (1 i 2 to prawie wszyscy).
Natomiast w 100% zgadzam się, że komisja zadaniowa dała w tym roku ciała na finale i wręcz zaledwie 7 osób z maksem to tylko efekt tego, że paru mocnym uczestnikom podwinęła się noga, bo swobodnie mogło być i 10 (całe szczęście, że przynajmniej drugi etap różnicował ludzi, bo dopiero wtedy byłby problem z ekipą na IMO). Zadania były zdecydowanie za proste, bardzo standardowe (no poza 5), a przede wszystkim nie było ani jednego zadania z kategorii trudne. Podobno tę rolę miało pełnić 6, ale ono jest naprawdę proste i sztampowe (jeden trójliść, a potem rachunki na kątach) - zrobiło je 25-30 osób (na co najmniej 5pkt). Zbliżoną trudność miało 5, resztę zadań robiło już dużo więcej ludzi (1 i 2 to prawie wszyscy).
-
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 12 razy
LXVII (67) OM - finał
Gratki dla wszystkich finalistów, bo bycie w finale to już zwycięstwo!
Ja się pochwalę swoim skrótowym rozwiazaniem zadania 5, które w dużej części przyczyniło się do mojego wysokiego wyniku punktowego w tym roku
A geo wcale nie było takie łatwe, ja robiłem je 3.5h i nie udało mi się go pokonać mimo wielu sprytnych prób
Ja się pochwalę swoim skrótowym rozwiazaniem zadania 5, które w dużej części przyczyniło się do mojego wysokiego wyniku punktowego w tym roku
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 78 razy
LXVII (67) OM - finał
Być może mam złe podejście do tematu, ale to nie jest przypadkiem tak, że ekipę na IMO jest bardzo łatwo wybrać? Można przecież losować, nie trzeba będzie nawet finału przeprowadzać. Zresztą plotka głosi, że zadania w tym roku to był jakiś żart nie tylko pod kątem trudności: zadanie 1 to "utrudniona" wersja A3 z putnama 2001, zadanie 3 to explicite B4 z putnama 2005.michalkieza pisze:Kaszubki, trochę nie masz racji. Drugi etap bardzo często decydował o IMO (zdarzało się, że 5-7 miejsce miało tyle samo punktów i patrzyło się na drugi etap), więc nie należy go lekceważyć i na nim też należy walczyć o jak najlepszy wynik.
Natomiast w 100% zgadzam się, że komisja zadaniowa dała w tym roku ciała na finale i wręcz zaledwie 7 osób z maksem to tylko efekt tego, że paru mocnym uczestnikom podwinęła się noga, bo swobodnie mogło być i 10 (całe szczęście, że przynajmniej drugi etap różnicował ludzi, bo dopiero wtedy byłby problem z ekipą na IMO).
Niewątpliwie jeśli ułożenie 6 zadań na finał jest problemem, to nie ma sensu podejmować tematu TST.
(żeby nie było że prowadzę niekonstruktywną krytykę, to chętnie się zaangnażuję w komisję zadaniową)