Dla jakiej wartości parametru k równanie ma jedno rozwiąznie

[mark939]

\(\displaystyle{ \log(k)+\log(x)=2\log(x+1)}\)

[PiotrowskiW]

\(\displaystyle{ \log (kx)-\log (x+1)^2=0 \\
\log \left( \frac{kx}{(x+1)^2}\right)=0 \\
\frac{kx}{(x+1)^2}=1}\)

[mark939]

Do tej postaci doszedłem ale nie wiem kiedy to będzie miało 1 rozwiązanie.

[PiotrowskiW]

Pomnóż to stronami przez mianownik ułamka, przenieś na jedną stronę. Masz równanie kwadratowe z parametrem. Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, wtw delta jest równa zero.

[mark939]

Mi udało się doprowadzić do takiej postaci:
\(\displaystyle{ k= \frac{x ^{2}+2x+1 }{x}}\)
Niestety nie wiem kiedy to będzie miało 1 rozwiązanie

[Janpostal]

Pomnóż przez \(\displaystyle{ x}\), pamiętaj o dziedzinie, teraz przenieś wszystko na jedną stronę, pogrupuj. Otrzymujesz równanie kwadratowe. Ma ono mieć jedno rozwiązanie, więc sprawdzasz, kiedy wyróżnik jest równy zero. Wyniki to \(\displaystyle{ 4 i 0}\), tylko czy aby na pewno są one wszystkie spełnione?

[mark939]

Dobrze już rozumiem \(\displaystyle{ x = 0}\) nie należy do dziedziny a\(\displaystyle{ x = 4}\) należy do dzoedziny

[Janpostal]

Nie, nie \(\displaystyle{ x}\), tylko \(\displaystyle{ k}\). A z powodu, że wracając do pierwszego postu, nie możesz logarytmować liczby \(\displaystyle{ 0}\).