Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ A_1B_1C_1}\) są przystające. Wewnątrz trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ A_1B_1C_1}\) znajdują się odpowiednio punkty \(\displaystyle{ P,P_1}\) takie, że
\(\displaystyle{ \angle APB=\angle A_1P_1B_1,\angle BPC=\angle B_1P_1C_1,\angle APC=\angle A_1P_1C_1}\).
Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \triangle APB\equiv \triangle A_1P_1B_1, \triangle BPC\equiv \triangle B_1P_1C_1,\triangle APC\equiv \triangle A_1P_1C_1}\).
Udowodnij przystawanie trójkątów.
-
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Udowodnij przystawanie trójkątów.
Należy wykazać, że jeżeli wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano takie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P_1}\), że \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B,\angle BPC=\angle BP_1C,\angle APC=\angle AP_1C}\), to \(\displaystyle{ P=P_1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B}\) to punkty \(\displaystyle{ ABPP_1}\) leżą na jednym okręgu \(\displaystyle{ o_1}\), podobnie punkty \(\displaystyle{ BCPP_1}\) leżą na jednym okręgu \(\displaystyle{ o_2}\). Z drugiej strony okręgi \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) mają 2 punkty wspólne, a jednym z nich jest \(\displaystyle{ B}\) czyli wierzchołek trójkąta, w takim razie istnieje jeden punkt leżący wewnątrz trójkąta ABC dla którego \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BPC=\angle BP_1C}\), czyli \(\displaystyle{ P=P_1}\). Warunek \(\displaystyle{ \angle APC=\angle AP_1C}\) nie jest tu konieczny.
Jeśli \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B}\) to punkty \(\displaystyle{ ABPP_1}\) leżą na jednym okręgu \(\displaystyle{ o_1}\), podobnie punkty \(\displaystyle{ BCPP_1}\) leżą na jednym okręgu \(\displaystyle{ o_2}\). Z drugiej strony okręgi \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) mają 2 punkty wspólne, a jednym z nich jest \(\displaystyle{ B}\) czyli wierzchołek trójkąta, w takim razie istnieje jeden punkt leżący wewnątrz trójkąta ABC dla którego \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BPC=\angle BP_1C}\), czyli \(\displaystyle{ P=P_1}\). Warunek \(\displaystyle{ \angle APC=\angle AP_1C}\) nie jest tu konieczny.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Udowodnij przystawanie trójkątów.
Korzystamy tu jeszcze z tego, że punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P_1}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB.}\)mint18 pisze:Jeśli \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B}\) to punkty \(\displaystyle{ ABPP_1}\) leżą na jednym okręgu \(\displaystyle{ o_1}\),