Funkcja kwadratowa z parametrem

[szerszen]

Funkcja f jest określona wzorem \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ f \left( x\right) < 0}\) jest przedział postaci \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ a < 0 < b}\).

\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{m ^{2}-m-2 }{m ^{2}-m-6}x ^{2} -2\left( m-2\right) x + m ^{2}-m-6}\)



Wyznaczam zatem dziedzinę parametru \(\displaystyle{ m, m \in R \setminus \left\{ -2,3\right\}}\)

Kiedy współczynnik, funkcji kwadratowej postaci \(\displaystyle{ y=Ax ^{2}+Bx+C}\), będzie równy \(\displaystyle{ A=0}\) wówczas \(\displaystyle{ m=-1 \vee m=2}\)
Nie otrzymamy w tym wypadku przedziału \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) zgodnego z treścią zadania.

Kiedy zaś \(\displaystyle{ A \neq 0 \Rightarrow m \neq -1 \wedge m \neq 2 \wedge m \in R \setminus \left\{ -2,3\right\}}\) mamy funkcję kwadratową.
Aby uzyskać przedział \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) ramiona muszą być skierowane ku dołowi i funkcja musi mieć dwa pierwiastki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} A>0\\
\Delta>0
\end{cases} \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} \left( m+2\right) \left( m+1\right) \left( m-2\right) \left( m-3\right) >0\\
m<2
\end{cases} \Rightarrow}\)\(\displaystyle{ \begin{cases} m \in \left( - \infty ,-2\right) \cup \left( -1,2\right) \cup \left( 3,+ \infty \right) \\
m<2
\end{cases} \Rightarrow m \in \left( - \infty ,-2\right) \cup \left( -1,2\right)}\)


Przedział \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ a < 0 < b}\) spełnia jedynie \(\displaystyle{ m \in \left( -1,2\right)}\)


Czy całe zadanie rozwiązałem poprawnie?
Zastanawiam się jeszcze nad przypadkiem kiedy \(\displaystyle{ \begin{cases} A<0\\
\Delta \ge 0\\
a=x _{2} &\text{drugie miejsce zerowe}\\
x _{2} \ge x_{1} \\
b=+ \infty
\end{cases}}\) lub gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} A<0\\
\Delta < 0\\
a=- \infty \\
b=+ \infty
\end{cases}}\)

[kropka+]

Jest ok (przejęzyczyłeś się - ramiona muszą być do góry).
Co do tych przypadków, to co to znaczy \(\displaystyle{ a=- \infty ; \ b= \infty}\) ? Liczby nie mogą być nieskończonościami. Pozostaje więc tylko rozwiązanie, które podałeś.

[szerszen]

Dziękuję

[kinia7]

Przedział \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ a < 0 < b}\) spełnia jedynie \(\displaystyle{ m \in \left( -1,2\right)}\)

Ale to nie przedział \(\displaystyle{ m}\) ma spełniać zadany warunek

\(\displaystyle{ \begin{cases} A>0\\
\Delta>0
\end{cases}}\)

to gwarantuje, że rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ f(x)<0}\) będzie przedział \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2\right)}\)
ale nie gwarantuje, że będzie \(\displaystyle{ x_1<0<x_2}\), czyli że pierwiastki będą przeciwnych znaków
do tego potrzebny jest jeszcze warunek \(\displaystyle{ C<0}\)

[kropka+]

ale nie gwarantuje, że będzie \(\displaystyle{ x_1<0<x_2}\), czyli że pierwiastki będą przeciwnych znaków
do tego potrzebny jest jeszcze warunek \(\displaystyle{ C<0}\)

Raczej \(\displaystyle{ \frac{C}{A}<0}\)
Są tu skróty myślowe i brak pełnego rozwiązania, niemniej jednak wyniki pośrednie i końcowy są poprawne, więc sądzę, że sposób rozwiązania też jest dobry.

[kinia7]

Raczej \(\displaystyle{ \frac{C}{A}<0}\)

pierwszym warunkiem było \(\displaystyle{ A>0}\), więc wystarczy \(\displaystyle{ C<0}\)

[kropka+]

Ok, chociaż gdy weźmiemy iloraz to zostanie tylko warunek na licznik A - co kto lubi. Rozwiązałaś to równanie na kartce? Bo mam wrażenie, że nie i dlatego masz takie wątpliwości.

Przedział \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ a < 0 < b}\) spełnia jedynie \(\displaystyle{ m \in \left( -1,2\right)}\)

Ale to nie przedział \(\displaystyle{ m}\) ma spełniać zadany warunek

Co Ci się tu nie podoba? \(\displaystyle{ a<0<b \Leftrightarrow m \in \left( -1,2\right)}\)

[kinia7]

Przeczytaj jeszcze raz treść zadania.
\(\displaystyle{ (a,b)}\) to inaczej \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) czyli rozwiązanie nierówności \(\displaystyle{ f(x)<0}\)

[kropka+]

Wiem o tym. Jeśli Twoja odpowiedź do zadania różni się od naszej to ją podaj.